最小作用量原理

　　機械能守恆系統在位形空間真實軌道上運動時所遵循的一個基本原理。二倍動能T對時間dt的積分

稱為拉格朗日作用量

S＝

2 T d t。

　　在N 維位形空間(q₁，q₂，…，q _N)中， 表示點沿著具有相同機械能的端點的真實路徑上的作用量和沿鄰近的可能路徑上的作用量比較， 沿真實路徑的作用量取駐值(包括極值)。考慮在N 維q空間自始點A(q₁₀，q₂₀，…，q_N0)出發的兩條運動的真實路徑，這兩條路徑是相鄰的，隻是出發的方向略有不同。這兩條路徑除 A外可能還有其他交點，若B是靠近A的第一個交點(見圖)。當兩條路徑的出發方向趨於一致時，B的極限點稱為動焦點。當代表點的路徑長超過

時，作用量積分既非極小也非極大。長度不超過始點和第一個動焦點之間的路徑長時，真實路徑的作用量是極小值。

　　拉格朗日作用量S＝

2 T d t同哈密頓作用量 w＝ L d t（見 哈密頓原理）的關系式為

w＝S-H(t₂-t₁)，

H 為哈密頓函數。在空間運動的質點的作用量為

S＝

2 T d t＝ м v ² d t＝ м v d s。

於是質點運動的最小作用量原理可用變分表示為

δ

v d s＝0。

上式是 P.-L.M.de莫培督在1744年提出來的最小作用量原理的表示式。他是受到17世紀時期所建立的費馬原理啟發，用微粒說來解釋光在空間的行進規律。L.歐拉認為這個原理很有價值，在1744年用力學方法證明它在輳力場中成立。對質點系的最小作用量原理的證明是J.L.拉格朗日在1760年得出的。在物理學上，微粒和波動的對偶關系是L.V.德佈羅意在1923年提出物質波後，再經過C.J.戴維孫和L.H.革末於1927～1928年的實驗所證實，才得到公認的。德佈羅意就是在費馬原理和最小作用量原理的啟發下發展瞭物質波理論。