色散關係

　　物理學中，從因果律出發(與其他原理相結合)得出的積分關係式的統稱。色散關係作為因果律的推論，其主要思想可概括為:設外界對某一物理系統輸入信號(或施加作用)，作為反應，系統產生輸出信號(或次級作用)。隻要此系統具有下述性質：①其內部運動規律不隨時間改變；②輸入和輸出按因果方式聯繫；③輸出是輸入的線性泛函，則可以求出此線性泛函的傅裏葉變換的解析性質，進而得到可測量間的積分關係式──色散關係。

　　在推導色散關係時，隻用到因果律和和其他一些普遍原理，而無需對系統內部運動規律或相互作用項作具體的說明或假定。所得色散關系式中都是可以直接與物理測量相聯系的量。因此色散關系在物理學許多領域中獲得廣泛的應用。

　　對色散關系的研究，從討論經典電磁理論中電介質的折射率隨電磁波頻率的變化開始。由經典電子論得知，介質中的電磁波由入射波和從各散射中心發出的散射波相幹疊加而成。一個合理的假定是認為這樣的物理系統具有上面的三個性質。這時因果律體現在要求入射波碰到散射中心以前，散射波振幅為零。從這點出發得出介質折射率作為頻率的函數的解析性質，導出瞭克喇末-克朗尼格公式，即介質折射率的色散關系式。它將折射率的實部用其虛部（即介質對電磁波的吸收系數）對頻率的積分關系式表出。對於絕緣介質，這關系式兩邊都可以直接測量，曾經利用它研究瞭經典電子論中許多問題。後來M.蓋耳－曼、M.L.戈德伯格等人進一步討論瞭量子電動力學中的色散關系問題。

　　量子場論和基本粒子理論中關於色散關系的研究，集中在20世紀50年代中期到60年代初期這一段時間。主要原因一方面是由於微擾理論不能用到強相互作用領域，人們亟待尋找新的可靠的方法；而另一方面是用色散關系研究問題時，隻要求遵從一些普遍有效的原理，而無需對強作用動力學機制（相互作用拉格朗日量）作出具體的假定。這點非常適應於當時量子場論和基本粒子物理的發展狀況，因而掀起瞭研究和運用色散關系的高潮。

　　量子場論中散射振幅可表為場算符的推遲對易子在物理態間矩陣元的傅裡葉變換式。通過運動學分析它又可分解成一些標量函數，可以認為它們是解析函數在其復數變量趨於實數軸時的邊界值。利用微觀因果性對場算符對易子的約束，討論出散射振幅中這些標量函數的解析性質，並利用柯西定理，就可導出有關的色散關系。

　　兩粒子彈性散射振幅是粒子能量和動量轉移的二元函數，一般的散射振幅是多元函數，如果固定或積分掉其他變量隻留下一個變量（例如能量）變動，得到的關系稱為單重色散關系式，以別於後來進一步假定散射振幅能同時對於兩個變量（例如能量和動量）作解析延拓後，提出的曼德爾施塔姆表象或所謂雙重色散關系。

　　最簡單的色散關系把向前彈性散射振幅的實部表示為正比於其虛部（與粒子散射過程的總截面相聯系）的函數對能量的積分、對向前彈性散射色散關系的實驗檢驗也檢驗瞭微觀因果性。

　　用色散關系研究強作用時，是將解析性與么正性、譜條件、交叉對稱性等相結合，使得到的許多物理過程的散射振幅相互聯系，得出一組耦合的方程式。利用它們可以對強作用進行唯象分析。50年代中後期到60年代初期，用這種方法對於低能π介子及核子(N)的作用進行瞭大量研究，包括分析π-N散射實驗數據，討論它的(3，3)共振態的效應、估算π-π作用的影響，並由此研究瞭核子電磁形狀因子、低能時在核子上的光生、電生 π介子等一系列問題。與此同時還利用色散關系討論瞭散射過程的高能極限問題，得出瞭一些重要的結果，它們之中值得提出的是強作用中粒子和反粒子總截面在高能時趨於同一極限的坡密朗丘克定理和限定總截面隨能量增長速率的弗魯瓦薩爾上限。由於推導它們時隻涉及到一些普遍有效的原理，因此這些結論被認為是正確、可靠的。

　　配合色散關系研究的另一個影響，是促進瞭量子力學和量子場論中對於散射振幅（包括產生振幅）解析性的更加深入的研究，爾後在這種研究熱潮中，提出瞭強作用唯象學中產生重要作用的雷其極點理論。

　　60年代中後期，強作用理論研究主流之一是流代數，人們將色散關系與流代數結合後，又得出瞭一些重要的結果。這包括與矢量流守恒（CVC）、軸矢流部分守恒(PCAC)有關的一些結果、阿德勒－韋斯伯格求和規則和其他一些低能定理等。

　　關於量子場論中色散關系的證明問題，至今沒有徹底解決。隻有當體系中粒子質量滿足一定的不等式而動量轉移數值限定在一定范圍內時，單重色散關系才能得到嚴格的證明。而對於雙重色散關系，即使在微擾論的框架下，也隻有某些特殊過程的散射振幅能滿足曼德爾施塔姆表象中關於解析性的要求。