慣量張量

　　剛體對於一點的轉動慣性的量度。若Oxyz是固連在剛體上的一直角坐標系(圖1)，l軸是通過座標原點O的任意軸，它和各坐標軸Ox、Oy、Oz的夾角分別為α、β、γ；設剛體中任一質點P的品質為mi，它的坐標為(x_i，y_i，z_i)，則剛體對軸l的轉動慣量為

式中

為剛體對坐標軸 Ox、 Oy、 Oz的轉動慣量。

稱為慣性積。慣性積也依賴於剛體的質量、質量分佈和各坐標軸的位置。但它的值可正可負，也可等於零。慣性積的量綱和轉動慣量相同，即等於ML²。

　　剛體對過坐標原點O 的任意軸l的轉動慣量I由六個量I_x、I_y、I_z、I_xy、I_yz、I_zx及軸l對坐標軸Ox、Oy、Oz的方向餘弦決定。I是由剛體本身的質量、質量分佈及軸l的方位來決定的，它是一個具有力學性質的量，它的值不因確定物體位置所選取的坐標系的不同而改變。對稱的慣量矩陣：

是一個張量，稱為剛體關於原點O 的慣量張量。

　　適當選擇坐標系Oxyz的方位，可使剛體的兩個慣性積同時為零，例如，

，這時，和這兩個慣性積同時相關的 z軸稱為剛體在 O點處的一個慣量主軸。一般地說，對於剛體上的任意一點 O有三個互相正交的慣量主軸。剛體對慣量主軸的轉動慣量稱為主轉動慣量。如果慣量主軸還通過剛體的質心，則這樣的主軸稱為中心慣量主軸，剛體對中心慣量主軸的轉動慣量稱為中心主轉動慣量。當剛體繞中心慣量主軸之一轉動時，在軸承上將不會由於轉動而引起附加的動反力（見 剛體的定軸轉動）。

　　若Iсχ′、Iсу′、Iсz′為剛體對以中心慣量主軸為坐標軸Cx′、Cy′、Cz′的轉動慣量(圖2)，則通過O點的任意軸l的轉動慣量為

式中α、β、γ為平行於l軸且通過質心C的軸l′和各坐標軸的夾角，m為剛體的質量，s為軸l和軸l′之間的距離。可見，隻要知道三個中心主轉動慣量，則可求出對任意軸l的轉動慣量。

　　一般說來，確定慣量主軸的方向是困難的。但如果剛體的質量分佈具有對稱軸，則該對稱軸便是慣量主軸，也是中心慣量主軸。若剛體的質量分佈具有對稱面，垂直於這對稱面的任一直線是對於這直線和對稱面的交點的一個慣量主軸。如這交點和質心重合，則這軸是一個中心慣量主軸。均勻球體的任意三個互相正交的直徑是球體的三個中心慣量主軸。均勻橢球通過質心的三個幾何對稱軸是橢球的三個中心慣量主軸。