卷積

　　分析數學中一種重要的運算。設f(x)，g(x)是R¹上的兩個可積函數，作積分

> 。

可以證明，關於幾乎所有的 x∈(-∞，∞)，上述積分是存在的。這樣，隨著 x的不同取值，這個積分就定義瞭一個新函數 h( x)，稱為 f與 g的卷積，記為 h( x)=( f* g)( x)。容易驗證，( f* g)( x)=( g* f)( x)，並且( f* g)( x)仍為可積函數。這就是說，把卷積代替乘法， l ¹( R ¹)空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。

　　卷積與傅裡葉變換有著密切的關系。以睿(x)，ĝ(x)，表示l¹(R¹)中f和g的傅裡葉變換，那麼有如下的關系成立：

，即兩函數的傅裡葉變換的乘積等於它們卷積後的傅裡葉變換。這個關系，使傅裡葉分析中許多問題的處理得到簡化。

　　由卷積得到的函數(f*g)(x)，一般要比f，g都光滑。特別當g為具有緊支集的光滑函數，f為局部可積時，它們的卷積(f*g)(x)也是光滑函數。利用這一性質，對於任意的可積函數，都可以簡單地構造出一列逼近於f的光滑函數列f_s(x)，這種方法稱為函數的光滑化或正則化。

　　卷積的概念可以推廣到數列、測度以及廣義函數上去。例如，α={α_n}，b={b_n}(n=0，±1，±2，…)為兩個數列，新的數列

定義為數列 α與 b的卷積。在概率論中也遇到卷積的概念。例如，已知獨立隨機變量 ξ和η的概率分佈為 P _ξ（ A）和 P _η( A)，那麼隨機變量 ξ+η的分佈 由下式給出

，

式中 A- y表示點集{ x| x+ y∈ A}; A為直線上任意的波萊爾集。

　　卷積，作為運算，還具有十分重要的所謂平移不變性。例如以τα表示平移算子，即(ταf)(x)=f(x-α)，那麼就有

利用這性質，可以刻畫出 l ^p( R ¹)到 有界的平移不變算子的特征，即當作用在施瓦茲函數類(記為 S( R ¹))時，這種算子一定是某個緩增廣義函數 u與函數 φ∈ S的卷積 u* φ（見 廣義函數）。