代數學乃至數學中最重要和最基本的代數結構。又稱線性空間。線性代數的中心內容。它的理論和方法在科學技術各個領域中有廣泛的應用。
定義 設V是一個非空集合，F是一個域。在集合V中的元素之間定義瞭一種代數運算，稱為加法，即對>V中任意兩個元素α與β，在V中都有唯一的一個元素γ與之對應，稱為α與β的和，記為γ=α+β。在集合V的元素之間還有一種運算，稱為數量乘法，即對V中任一α都有V中唯一一個元素δ與之對應，稱為k與α的數量乘積，記作δ=kα。k為F中的一個元素，如果所述的加法和數量乘法還滿足以下規則，則稱V為F上的一個向量空間。
加法的4條規則:
①結合律，即α+(β+γ)=(α+β)+γ；
②交換律，即α+β=β+α；
③在V中唯一一個“零元素”，記作0，對於V的任意元素α,都有0+α=α；
④對於V的每個元素α，在V中存在唯一一個負元素－α，使得(－α)+α=0。
數量乘法的兩條規則:
①結合律，(lk)α=l(kα)；
②設1是F的單位元，則對於V中任意元素α，有1α=α。
加法和乘法的兩條規則 :
①k(α+β)=kα+kβ；
②(k+l)α=kα+lα。
以上各式中α、β、γ是V的任意元素，而k、l是F的任意元素。
概念推廣 線性相關 這個重要概念是幾何中向量共面或不共面的推廣。設α1,α2,…,αk是域F上 向量空間V中的向量,l1,l2,…,lk是F中元素，表示式l1α1+l2α2+…+lkαk稱為α1,α2,…,αk的線性組合。如果有不全為零的l1,l2,…,lk使線性組合l1α1+l2α2+…+lkαk=0，則稱α1，α2,…,αk是線性相關的。在相反的情形，即l1α1+l2α2+…+lkαk=0當且僅當l1=l2=…=lk=0,稱α1,α2,…,αk為線性無關的。
基與坐標 一個向量空間V中若有n個線性無關的向量α1,α2,…,αn，使得任意α∈V是它們的線性組合，則稱α1，α2,…,αn為V的一組基。任意α寫成α=x1α1+x2α2+…+xnαn，式中x1,x2,…,xn皆為F的元素，它們是唯一決定的，稱為α在基α1,α2,…,αn下的坐標。
維數 V中可能有兩組基，則這兩組基中所含向量的數目是相同的。向量空間V的基中向量的數目稱為V的維數。僅由零向量作成的向量空間沒有線性無關的向量組，約定其維數為零。若向量空間V中有任意多個線性無關的向量，則稱為無限維的。
平面上全體向量的集合是實數域上的向量空間。任取兩個互相垂直的單位向量都可組成一組基，故平面上向量可作成二維空間。同樣空間中全體向量可作成三維空間。任意域F上全體形為a0+a1x+…+anxn(a0,a1,…,an∈F，n是固定的正整數)的多項式的集合是F上向量空間。1,x,…,xn是它的一組基，故它是F上n+1維向量空間。F上全體多項式也作成F上向量空間，它是無限維的。
向量空間的同構 域F上兩個向量空間V及V′，如果存在V到V′的一個雙射φ，即V→V′， φ滿足φ (α+β)= φ (α)+ φ (β)(保持加法)，φ (kα)=kφ (α)(保持數量乘法)，其中k是F中任意元，α，β是V中任意向量，則稱V與V′是同構的。同構映射保持線性組合、線性相關及線性無關。V與V′中元素除瞭記號不同而外，即V中元素為α，V′中就記為φ(α)，運算性質是相同的。易知同構的向量空間有相同的維數，反之亦然。