柱的基本理論

　　柱在軸向荷載作用下，由於荷載的偶然偏心，柱本身有初始彎曲，材質不均勻等原因，從載入開始時起即發生壓縮與彎曲的組合變形，即使材料遵循胡克定律，但柱的橫截面上的彎矩以及柱的側向位移（撓度）均不與荷載成線性關係。柱的性能的理論研究可按兩種不同類型的計算簡圖進行。在第一類簡圖中把柱視作本身有初始彎曲的桿或荷載有偏心的直桿，第二類簡圖則把柱視作理想中心壓桿，即認為桿是絕對直的、材料絕對均勻、荷載亦無任何偏心。

　　有初始彎曲的桿或偏心受壓直桿　兩端鉸支的柱作為偏心受壓直桿時（圖1a）。根據小剛度桿的計算理論，任意橫截面上的彎矩為M=P(e+v)，式中M為彎矩；P為荷載；e為偏心距；v為任意橫截面處桿的撓度。若桿的材料始終在線彈性范圍內工作，則由撓曲線近似微分方程EIv"＝－M＝－P(e＋v)可得桿的中點撓度δ與荷載P有如下非線性關系：

式中 E為彈性模量； I為慣性矩； L為桿長。圖1b中的實線示出瞭上式所示的 P- δ關系；當 P→ P _cr=π ² EI/ L ²時，桿的撓度迅速增長，且以水平線 AB為漸近線。事實上，撓度較大時就不能利用曲率的近似式1/ ρ＝ d ² v/ d x ²，亦即不能利用撓曲線近似微分方程 EIv"＝- M。如果利用曲率的精確表達式，則 P- δ曲線將如圖1b中虛線所示。

　　理想中心壓桿　把柱作為理想中心壓桿時（圖2a），若在分析中對桿不給予任何幹擾，則P-δ曲線顯然為圖2b中的鉛垂線OAD；假設桿受到微小的幹擾而彎曲，則由曲率的精確表達式1/ρ＝dθ/ds所列出的微分方程為

，據此可求得 P- δ曲線如圖2b中實線 OABC所示。由此可知，對於理想的中心壓桿，當荷載 P低於臨界值 P _cr時桿保持直線形式，此時如果桿受到微小的幹擾而彎曲，則幹擾除去後桿即恢復原有的直線形式，即 P＜ P _cr時平衡的直線形式是穩定的。當 P＞ P _cr時，理想的中心壓桿有兩種可能的平衡形式；直線形式和彎曲形式；而直線形式的平衡是不穩定的，桿在任何微小的幹擾作用下發生微彎後，就會繼續彎曲直至 δ達到曲線 ABC上與 P相對應的值。當 P＝ P _cr時，直線 OAD在 A點與曲線 OABC分叉，平衡是隨遇的，微小的幹擾除去後桿仍保持在幹擾作用時的位置上。以上分析均假設材料始終在線彈性范圍內工作。事實上，當荷載達到如圖2b中 B點對應的值時，由於桿中最大應力達到彈性極限而桿所能承受的荷載迅速減小， P- δ曲線將沿虛線 BE下降。這就是說，細長的理想中心壓桿所能承受的最大荷載僅稍高於臨界荷載 P _cr。由於確定最大荷載需要冗長的計算，而確定臨界荷載比較簡單，所以在工程計算中，常把臨界荷載作為壓桿所能承受的最大荷載。

　　根據理想中心壓桿所得的臨界力稱為歐拉臨界力。當壓桿兩端為鉸支時，P_cr＝π²EI/L²。當端部約束條件不同時，柱的歐拉臨界力的計算公式可統一寫作

P_cr＝π²EI/(μL)²

式中μ為與端部約束條件有關的長度系數，μ L稱為相當長度（有效長度）。將上式兩端除以柱的橫截面面積 A所得的應力，稱為歐拉臨界應力

σ_cr＝π²EI/(μL)²A＝π²E/λ²

式中 稱為柱的柔度，也稱為柱的長細比。

　　求臨界力和臨界應力的歐拉公式按其導出的條件，隻適用於臨界應力σ_cr不超過材料的比例極限σ_p，即π²E/λ²≤σ_p的情況，也就是

即所謂細長柱的情況。對於λ＜λ _p的中長柱和短柱，常采用經驗公式計算臨界應力。

　　

參考書目

　王啟德著，林硯田等譯：《應用彈性理論》，機械工業出版社，北京，1966。（Chi－Teh Wang，Applied Elasticity，McGraw-Hill，New York，1953.）