最小作用量原理

　　動力學中的一個變分原理。由保守系統的動力方程可以導出這個原理，也可自這原理導出動力方程。這原理可表述為：對於定常保守系統，作用量Tdt的積分的全變分為零。即

　　　　　　　　　(1)

式中T為動能；t為時間；Δ為全變分記號。Δ與變分記號δ不同之處是：δt＝0，而Δt≠0。將Δ與δ施於同一變量時，有關系式：

Δq_i=δq_i+介_iΔt。

因此Δ和δ兩符號有關系式：

。

最小作用量原理還可詳述為：對於定常保守系統，在廣義坐標q_i和時間t的聯合空間(q₁，q₂，…，q_N；t)裡，對於機械能E保持不變（即δE＝0)的各條路徑中，如果路徑的端點（包括始點和終點）的全變分為零，則積分

對於真實運動的路徑和鄰近的旁路比較，真實路徑的積分是駐值。在一般實際情況中，式(1)確定的積分 為極小值，最小作用量原理即由此得名。

　　對於一個質點，

，因此式（1）成為

上式是1744年由P.-L.M.de馬保梯最先提出的一個最小作用量原理。他研究這個問題的目的是想配合光學中的費馬原則，說明光是一種高速運動著的微粒。L.-V.德佈羅意和E.薛定諤等所創立的波動力學（現在都稱它為量子力學）也受到力學中的最小作用量原理和光學中的費馬原理的許多類似之處的啟發。後來L.歐拉證明這原理對於一個質點在有心力場中的運動也是成立的。J.-L.拉格朗日把這原理推廣到N個自由度的保守系統並給予嚴格證明，所以這原理稱為馬保梯－拉格朗日最小作用量原理。

　　最小作用量原理與哈密頓原理的相同點是：①兩者都是作用量的積分的變分原理，對時間不長的運動，兩者都是極小值；②兩者都是在多維空間(q₁，q₂，…，q_N；t)中真實路線積分與旁路線積分的比較；③這兩個原理在所設條件下與保守系統的動力方程等效，三者可互相推導。最小作用量原理與哈密頓原理的不同點是：①哈密頓原理以

為作用量， L為動勢，最小作用量原理以 為作用量；②哈密頓原理的始點和終點在多維空間( q ₁， q ₂，…， q_N； t)中為兩定點，變分為等時的，即δ t=0，最小作用量原理的始點 q ₀和終點 q ₁的全變分為零。即Δ q ₀＝Δ q ₁=0，且機械能 E在各條路線上相同，即δ E＝0。兩種作用量有關系式：

式中H為哈密頓函數。