三體問題

　　空間中以萬有引力為相互作用力的三個質點的運動問題。解決這個問題的任務是在已知其初始位置和初始速度的前提下，確定三質點在任何時刻的位置和速度。二體問題已獲圓滿解決，但增加瞭第三體後，就無法通過初等函數的有限項表示其解。三體問題的一般理論二百多年來雖經許多著名數學傢和物理學傢的研究，但至今未得到解決。給定初始位置和初始速度，無法確定以後任意暫態的位置和速度，也無法確定三體系統的穩定性，即無法確定其中一質點是否趨向無窮遠或其中兩質點是否會發生碰撞。儘管如此，三體體問題中的某些問題仍然是可以研究和解決的。例如，若三體的初速度矢量同三體所處的平面共面，則三體保持在此平面上運動。另外，限制性三體問題也是可以研究的問題。例如，對月球火箭飛向月球的運動的研究就需要應用限制性三體問題的理論。

　　在三體問題中，作用於質點Q_i的力是：

式中 m為質點的質量； r為質點的位置矢量； r _ij為兩質點間的距離； F _ij為兩質點間的作用力。三體問題的運動微分方程可寫作：

　( j≠ i； i， j＝1，2，3)，

式中 為質點 Q_i的加速度。上式在直角坐標軸上的投影式為：

　( j≠ i； i， j＝1，2，3)，

這裡有9個二階微分方程，共為18階。H.佈倫斯和H.龐加萊曾證明 n體問題隻有10個積分，即3個動量積分，3個關於質心運動的積分，3個動量矩積分和1個能量積分，而且它們都是代數式。應用這10個積分可將三體問題的18階方程降低到8階，再用“消去時間法”降低到7階，又用“消去節線法”降低到6階。如為平面三體問題則可降為4階。

　　如果3個質點中有一個質點Q的質量比其他兩個質點Q₁和Q₂的質量小很多，則質點Q對質點Q₁和Q₂的運動影響很小。於是，Q₁和Q₂的運動便是一個二體問題，而確定Q點的運動就是一個限制性三體問題。例如，太陽的質量遠超過所有行星的質量和，木星的質量遠超過其他行星，一個在火星和木星之間運行的小行星在太陽和木星的引力場中運動，其質量與前二者相比可以忽略不計，確定這個小行星的運動就是一個限制性三體問題。如果Q₁和Q₂的運動軌道分別是以它們的質心為圓心的兩個圓，則這個問題就是“圓型限制性三體問題”。月球軌道的離心率e＝0.0549，即軌道很接近圓形。如果不計太陽的攝動，月球火箭在未越出月球和地球引力場時，其運動就屬於圓型限制性三體問題。

　　

參考書目

　E.T.Whittaker，A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies，4th ed.，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1952.

　E.Finlay - Freundlich，Celestial Mechanics，PergamonPress，London，1958.

　W.M.Smart，Celestial Mechanics，John Wiley &Sons，Glasgow，1953.