描述粘性不可壓縮流體動量守恆的運動方程，簡稱N-S方程。此方程是法國科學傢C.-L.-M.-H.納維於1821年和英國物理學傢G.G.斯托克斯於1845年分別建立的，故名。它的向量形式為：

。　　　　　(1)

在直角坐標中，它可寫成：

　　　　　(2)

式中 ρ為流體密度； v為流體速度矢量，在直角坐標中其分量為( u， v， w)； p為流體各向同性壓力； F為體積力，在直角坐標中其分量為( X， Y， Z)； μ是動力粘性系數。N-S方程概括瞭粘性不可壓縮流體流動的普遍規律，因而在 流體力學中具有特殊意義。

　　粘性可壓縮流體運動方程的普遍形式為：

，　　　　　　　(3)

式中

，　　　(4)

其中 為流體應力張量； 為單位張量； 為變形速率張量，在直角坐標中其分量為：

μ′為膨脹粘性系數，一般情況下 μ′＝0。若流體是均質和不可壓縮的，這時 μ＝常數，▽· v＝0，則方程(3)可簡化成N-S方程(1)和(2)。如果再忽略流體粘性(即 μ＝0)，則(1)就變成通常的歐拉方程：

，　　　　　　　(5)

即無粘流體運動方程（見 流體力學基本方程組）。

　　從理論上講，有瞭包括 N-S方程在內的基本方程組，再加上一定的初始條件和邊界條件，就可以確定流體的流動。但是，由於N-S方程比歐拉方程多瞭一個二階導數項μΔv，因此，除在一些特定條件下，很難求出方程的精確解。可求得精確解的最簡單情況是平行流動。這方面有代表性的流動是圓管內的哈根－泊肅葉流動（見管流）和兩平行平板間的庫埃特流動（見牛頓流體）。

　　在許多情況下，不用解出N-S方程，隻要對N-S方程各項作量級分析，就可以確定解的特性，或獲得方程的近似解。對於雷諾數Re《1的情況，方程左端的加速度項與粘性項相比可忽略，從而可求得斯托克斯流動的近似解。R.A.密立根根據這個解給出瞭一個最有名的應用，即空氣中細小球狀油滴的緩慢流動。對於雷諾數Re》1的情況，粘性項與加速度項相比可忽略，這時粘性效應僅局限於物體表面附近的邊界層內，而在邊界層之外，流體的行為實質上同無粘性流體一樣，所以其流場可用歐拉方程求解。

　　把 N-S方程沿流線積分可得到粘性流體的伯努利方程：

　　(6)

式中 g為重力加速度； h媕為單位質量流體克服阻力作功而引起的機械能損失。因此，流體沿流線流動時，機械能會轉化成熱能，使流體溫度升高。

　　

參考書目

　L.普朗特著，郭永懷、陸士嘉譯：《流體力學概論》，科學出版社，北京，1981。(L.Plandtl，etal.，Führer Durch die Strö-mungslehre，Friedr.Vieweg und Sohn，Braunschweig，1969.)