氣體分子運動論的基本方程,因L.E.玻耳茲曼於1872年首先提出而得名。它是一個非線性積分微分方程,用於描述氣體分子速度分佈函數的變化。它對研究稀薄氣體動力學有重要意義。
根據質點分子或光滑球分子速度分佈函數f(x,v,t>)的定義,在時刻t,x鄰近的物理空間體積元(記為dx≡dx1dx2dx3)內,速度在靠近v的速度空間元(記為dv≡dv1dv2dv3)內的分子數目是fdxdv。對於單一組元且相互作用勢為球對稱的氣體分子,如果作用在分子上的外力為F,則速度分佈函數f滿足下述玻耳茲曼方程:
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對於一般剛性分子,速度分佈函數有六個位置變量和六個速度變量。因為,若分子為非球對稱的剛體,除用x決定平動外,還需有三個決定方位的角變量。如果分子表面不光滑,則除瞭速度v外,尚需有表征分子運動狀態的三個角速度分量。
直接求解玻耳茲曼方程十分困難,平衡狀態的麥克斯韋速度分佈實際上是已知的僅有的精確解:
f0=(ρ/m)(h/π)3/2exp(-hv2), (2)
式中h=m/2kT;k為玻耳茲曼常數;ρ、v和T為平衡態下的密度、速度和溫度。為瞭簡化,通常提出所謂模型方程,用以近似地代替玻耳茲曼方程。最簡單而常用的方程是所謂B-G-K-W方程,它用v(f0-f)(稱為弛豫項)代替玻耳茲曼方程右端的碰撞積分,即
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參考書目
S.Chapman and T.G.Cowing,The Mathematical Theory of Non-uniform Gases,3rd ed.,Cambridge Univ.Press,London,1970.
C.Cercignani,Mathematicl Methods in Kinetic Theory,Plenum Press,New York,1969.