高斯定理

　　靜電場（見電場）的基本方程之一，它給出瞭電場強度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內的總電量之間的關係。電場強度E 在任意面積上的面積分

稱為電場強度對該面積的通量。根據 庫侖定律可以證明電場強度對任意封閉曲面的通量正比於該封閉曲面內電荷的代數和，即

， (1)

這就是高斯定理。它表示，電場強度對任意封閉曲面的通量隻取決於該封閉曲面內電荷的代數和，與曲面內電荷的分佈情況無關，與封閉曲面外的電荷亦無關。在真空的情況下，Σq是包圍在封閉曲面內的自由電荷的代數和。當存在介質時，Σq應理解為包圍在封閉曲面內的自由電荷和極化電荷的總和。

　　高斯定理反映瞭靜電場是有源場這一特性。凡是有正電荷的地方，必有電力線發出；凡是有負電荷的地方，必有電力線會聚。正電荷是電力線的源頭，負電荷是電力線的尾閭。

　　高斯定理是從庫侖定律直接導出的，它完全依賴於電荷間作用力的二次方反比律。把高斯定理應用於處在靜電平衡條件下的金屬導體，就得到導體內部無凈電荷的結論，因而測定導體內部是否有凈電荷是檢驗庫侖定律的重要方法。

　　對於某些對稱分佈的電場，如均勻帶電球的電場，無限大均勻帶電面的電場以及無限長均勻帶電圓柱的電場，可直接用高斯定理計算它們的電場強度。

　　當存在電介質並用電位移D描寫電場時，高斯定理可表示成

。 (2)

它說明電位移對任意封閉曲面的通量隻取決於曲面內自由電荷的代數和Σq_o，與自由電荷的分佈情況無關，與極化電荷亦無關。電位移對任一面積的能量為電通量，因而電位移亦稱電通密度。對於各向同性的線性的電介質，電位移與電場強度成正比，D＝ε_rε_oE，ε_r稱為介質的相對介電常數，這是一個無量綱的量。如果整個封閉曲面S在一均勻的相對介電常數為ε_r的線性介質中(其餘空間區域可以充任何介質)，高斯定理(2)又可寫成

， (3)

在研究電介質中的靜電場時，這兩種形式的高斯定理特別重要。

　　高斯定理的微分形式為

。

即電位移的散度等於該點自由電荷的體密度。在均勻線性介質區內，則為

。

靜電場的高斯定理可以推廣到非靜態場中去，不論對於隨時間變化的電場還是靜態電場，高斯定理都是成立的，它是麥克斯韋方程組的組成部分。