變質量體運動

　　變質量體是在運動過程中本身品質發生明顯變化的物體，這種物體的運動就是變質量體運動。這裏所說的物體品質的變化不是指品質的消滅或產生，而是指在某一暫態以前或以後，物體中有一部分品質未被考慮在內；前者相當於有品質併入而使物體的品質增加，後者相當於有品質分出而使物體的品質減少。如果變質量體的轉動速度和加速度同平動的速度和加速度相比可以忽略不計，則此變質量體可看作一個變質量點。這種情況下的變質量體問題仍屬經典力學範疇。

　　在工程技術術和自然界中有許多變質量體的例子：火箭噴出燃料燃燒後的殘餘物使火箭質量發生變化；噴氣飛機是一般情況下的變質量體，它不斷吸入空氣而使質量增加，但又不斷噴出燃氣而使質量減少，即質量的並入和分出同時發生；流星體在闖入大氣層時，質量由於摩擦燃燒而減少；浮冰由於海水凍結使質量增加，或由於融化而使質量減小；棉紡廠的紗錠在轉動過程中也在不斷改變質量和轉動慣量，等等。

　　基本運動微分方程　假設變質量質點的並入或分出微粒是連續發生的，而且這種質量的並入或分出是屬於微粒和質點的接觸作用，即微粒和質點並入或分出時發生碰撞而產生微粒速度的突變，從而使質點的速度發生連續的變化；並入或分出以後，作用也就停止。

　　牛頓第二定律原來隻用於常質量物體的運動，但如在兩個瞬時考察相同總質量的動量變化，也可用於變質量物體的運動。

　　設變質量質點的質量m是時間t的函數，即m＝m(t)。在瞬時t，質點的質量為m(t)，質點對於定坐標系Oxyz的速度為v（圖1），即將與之合並的微粒的質量為dm(t)，其對Oxyz的速度為u。在瞬時t+dt，微粒與質點合並。於是質點的質量變為(m+dm)，其對Oxyz的速度成為v+dv。對於質量分出的情況(如火箭)，則dm＜0，即

為負。

　　m和dm所組成的質點系在瞬時t的動量為mv+udm；在瞬時t+dt的動量為(m+dm)(v+dv)。在dt時間內，動量的增加dp為：

　　　　　　　　 dp＝(m＋dm)(v＋dv)－(mv＋udm)。

將上式展開並略去二階微量，再根據牛頓第二定律，就得到變質量質點的基本運動微分方程：

，　　　　　　　　(1)

式中 v r＝ u－ v是微粒相對於變質量質點的速度。若把上式右端第二項記為 Φ，就得：

。

這是變質量質點的基本運動微分方程的另一種形式，是俄國 И.В.密歇爾斯基於1897年導出的，稱為密歇爾斯基方程。式中 F為外力； Φ具有力的量綱，稱為反推力。

　　對火箭（圖2）來說，Φ就是射流施加在它尾部的推力T，即

，式中 vr＝ u－ v是射流相對於發動機的速度，由於

，推力 T與相對速度為反向，故火箭在直線運動中的運動微分方程可寫作：

，

式中 F包括諸如重力和空氣阻力等外力。這方程表明，火箭由於發動機噴出微粒而受到推力 T。

　　火箭速度公式　設火箭在真空中運動時不受外力(圖3)，噴出微粒的相對速度vr的值為常數，其方向與物體的速度v相反而共線。

　　取式(1)兩端在x軸上的投影，得：

，

為方便起見，用 v代表 v_x， vr表示相對速度的模，則

　　　　　　　　v_r_x＝－vr。

又因F_x=0，故上式可寫作：

或

。　　　　　　　　　(2)

設 m= m ₀· f( t)，式中 f( t)為確定微粒噴射規律的函數，且當 t=0時， f(0)=1，即 m ₀為質點的初始質量。積分式(2)並設 t=0時， v= v ₀，得：

。　　　　　(3)

上式表明，變質量質點的速度同初始質量 m ₀對剩餘質量 m的比值有關。在 v ₀=0的條件下，設噴射終瞭時質點的質量為 m_s（此即燃料燒完時火箭殼體的質量），燃料的質量為 m _f，則火箭在噴射終瞭時的速度 v ₁可從式(3)求得：

　　　　　　(4)

此式稱為齊奧爾科夫斯基公式。К.Э.齊奧爾科夫斯基是開拓火箭技術領域的先驅者之一。

　　從式(4)可推出如下結論：①v₁與相對速度成正比；②m₀/m_s或m_f/m_s越大，則v₁越大；③v₁與噴射規律f(t)無關，即與燃料的快慢無關(這是不考慮F_x的結果)；④如要提高v₁，提高v_r比增加m₀/m_s更為有效。

　　變質量質點的動量定理　將基本方程(1)寫成如下形式：

，　　　　　(5)

式中

是單位時間內噴出微粒的絕對運動所引起的反推力，記為 R，則上式可寫作：

，　　　　　　　(6)

這就是變質量質點的動量定理。將式(6)寫作：

　　　　　　　　　 d(mv)＝Fdt＋Rdt，

就得到變質量質點的沖量定理：變質量質點動量的微分，等於外力的元沖量和微粒絕對運動引起的反推力元沖量之和。

　　變質量質點的動量矩定理　變質量質點對某固定點的動量矩定義為r×mv，式中r為由固定點引出的矢徑。在式(6)等號的兩邊作r的矢量積，得：

　　　　　　

，這就是變質量質點的動量矩定理：變質量質點對某一固定點的動量矩的時間導數，等於外力和微粒絕對運動引起的反推力合力對同一固定點之矩。

　　變質量質點的動能定理　變質量質點的動能為：

。

將變質量質點的基本方程(1)的兩邊各項分別點乘以 vd t或 d r，移項後得：

　　　mv·dv＋v·vdm=F·dr+v·udm，　　(7)

式中左邊第一項可寫作：

。　　(8)

此外，

是反推力，兩邊點乘以 v，移項後得：

　　　　　v·udm=Φ·dr+v²dm。　　　　　(9)

將式(8)、(9)兩式代入式(7)，得：

；

這就是變質量質點的動能定理：變質量質點動能的微分，等於所有外力的元功、反推力的元功和噴出微粒的元質量由於牽連速度而產生的動能之代數和。