運動帶電粒子的電磁場

　　微觀帶電粒子在運動中所產生的電磁場。這個問題雖然已經超出經典電動力學的範圍，但經典理論仍有一定的意義。因為在某些情況下，量子效應並不重要，經典理論的結果仍近似正確，可以在實踐中直接應用（例如計算高溫等離子體或加速器中粒子的輻射）；還有一些情況，量子效應雖然顯著，但經典結果可按一定方式與量子理論的結果相對應；另外，通過經典理論結果與量子理論結果間的對比，可以更好地認識量子效應的特點。

　　在經典理論中，通常把帶電粒子當作一個線線度極小的帶電體，且一般不考慮它的自旋磁矩。這時一個作任意運動的帶電粒子所產生的電磁勢用高斯單位制可表示為

此結果稱為李納-維謝爾勢。式中q代表粒子的電荷，с代表真空中的光速，r代表從粒子到所討論的場點(x，y，z)的距離，v代表粒子的速度，υ_r代表v在r方向的分量。加*號表示這些值不是取t時刻的值而是取某一較早時刻t^*時的值，這是因為電磁影響以有限速度с傳播的緣故。式中的

通常稱為多普勒因子。

　　從李納－維謝爾勢，可以計算出任意運動的帶電粒子的電磁場，結果為

式中a^*代表t^*時刻粒子的加速度。E 中的第一項(以及相應的B)隻和t^*時刻粒子的位置和速度有關，而與加速度無關。它在r^*大時衰減較快

。此項對輻射沒有貢獻，代表依附於帶電粒子的那一部分場，有時稱為粒子的自場。在粒子靜止的情況，自場就化為通常的庫侖場。第二項不僅與 t ^*時刻粒子的位置和速度有關，還正比於粒子在 t ^*時刻的加速度。此項電場和磁場 ， E和 B大小相等，而且 E、 B和 r ^*三者互相垂直。所對應的能流就在 r ^*方向，其數值 ，這表明此項代表粒子的輻射場。以上特點顯示瞭輻射場的橫波性。

　　上面所述的t^*可以采用下述圖解法來確定：在粒子所經歷的軌道上（直到t時刻為止）取一系列的點，它們分別相應於粒子在t₁、t₂、t₃……時刻的位置，如圖1所示。然後以這些點為中心，分別以с(t-t₁)、с(t-t₂)、с(t-t₃)……為半徑畫出一系列的球面S₁、S₂、S₃……。從電磁影響傳播速度為с即可看出：粒子在t_i時刻所產生的電磁影響，到t時刻正好傳到S_i面上。因此S_i面上t時刻的電磁勢和場強應由t_i時刻粒子的狀態所決定。於是對於球面S_i上的點來說，與t時刻相應的t^*即為t_i，r^*即為球心到該點的矢徑。

　　以上的討論表明，粒子途徑空間某點P時所放出的電磁波即以該點為中心向外傳播，粒子一路上放射的全部輻射場即形成一系列不同心的球面波。輻射場的能流即在球面法線方向，輻射場的E和B都與球面相切。

　　對於非相對論粒子，

，輻射場強可近似為　

表示a^*在球面上場點處的切向分量，n表示球面上場點處的法向單位矢量。非相對論粒子的輻射功率為

　　

上式通常稱為拉莫爾輻射功率公式。如果用p表示粒子對任一固定點的電偶極矩，則

　　 　　

其中

表示 p對時間的兩次微商，於是低速(非相對論)粒子的輻射場可表為

　　

輻射功率為

　　

由此可見，低速運動粒子的輻射相應於電偶極輻射。

　　對於帶電粒子作等速運動的簡單情況，v等於常矢量v₀。這時E 和B可以通過即時的r（從t時刻粒子位置到場點的距離）表示出來。結果為

從上式可以看出，這時電力線仍為以粒子為中心的直線族，如圖2所示。磁力線形成一個個以v₀為軸的圓圈。等速運動粒子的電場與靜止粒子不同之處在於，現在電力線在各方向的分佈不是均勻的，它比較密集在垂直於v₀的平面附近。速度愈高，密集程度愈大。

　　等速帶電粒子沒有輻射，上述電磁場整個地隨著粒子向前移動。

　　對於非相對論粒子，

與1相比可以略去，這時　　

即化為庫侖電場和畢奧-薩伐爾磁場的形式。

　　當速度接近於с時，電磁場差不多集中在通過帶電粒子並且垂直於v₀的平面上，形成為一薄片形的分佈。

　　關於速度很高而又有加速度的粒子的輻射，可參見軔致輻射、回旋加速器輻射和同步加速器輻射。