亥姆霍茲方程

　　在數學上具有(∇²+k²)ψ =f形式的雙曲型偏微分方程。式中∇²為拉普拉斯運算元，在直角坐標系中為

； ψ為待求函數； k ²為常數； f為源函數。當 f等於零時稱為齊次亥姆霍茲方程； f不等於零時稱為非齊次亥姆霍茲方程。在電磁學中，當函數隨時間作簡諧變動時，波動方程化為亥姆霍茲方程。例如，在均勻各向同性媒質中，電場和磁場強度滿足下述波動方程

(1) 。 (2)

　　當一個函數F(x，y，z，_t)隨時間作簡諧變動時，可以表成F(x，y，z)e^jwt的形式，這時д/д_t相當於jω，д²/д_t²相當於－ω²，代入式(1)、(2)，並利用電荷與電流之間的連續方程∇·J＝-дρ/д_t，可得

(3) ， (4)

式中k＝ω(με)^½，稱為波數。

　　在場強的非齊次亥姆霍茲方程中，右邊的源函數比較復雜。若換用電磁勢，源函數可得到簡化。洛倫茲規范下，簡諧變化的A和φ滿足下述非齊次亥姆霍茲方程

(5) (6)

　　在沒有源的區域，式(5)、(6)變為齊次亥姆霍茲方程

(7) (8)

　　若此區域是有界的，例如在波導中，則因邊界條件的限制，方程的解可以用離散的本征模式的線性組合來表示。每一模式的系數取決於源函數和待定函數的邊值(見電磁場的邊值問題)。