依據最小二乘準則，由一系列帶有觀測誤差的測量資料，求定未知量最佳估值及其精度的理論和方法。對於含有誤差的觀測資料，一方面要估計它們的可靠程度，並作出合理的解釋，這就涉及有關觀測誤差性質的基礎知識，如誤差出現的規律性，精度指標及其含義，誤差的傳播規律等；另一方面還要對這些觀測資料作適當處理，以便得出待求量的最佳估值，這涉及推求未知量最佳估值的準則，資料處理的基本方法，以及它們的函數模型等。
>觀測誤差 在測量工作中，為瞭求得某些未知量的數值，總是通過各種方法直接或間接地對這些量的函數進行觀測，從而得到許多觀測值。被觀測量的真值同觀測值之差稱為觀測誤差。觀測誤差的發生有多種原因，例如，觀測時所使用的儀器的精密度有限，測量者感覺器官的鑒別能力有一定的局限性，測量時所處的外界條件不能確知等。
觀測誤差按其性質可分為系統誤差和偶然(隨機)誤差兩類。大小和正負號按一定規律出現的誤差，屬於系統誤差。這種誤差對於測量結果的影響通常具有系統性，是非常有害的。因此，必須在測量過程中采取適當的操作程序，或者通過計算改正的方法，盡可能地從觀測值中消除。
大小和正負號呈現隨機性變化的誤差，屬於偶然誤差。這種誤差是不可避免的。在一定條件下進行一系列觀測，從各個偶然誤差的取值來看，或大或小，或正或負，並無任何規律。但從大量偶然誤差的整體來看，卻存在著統計的規律性，即偶然誤差服從正態分佈。正態分佈總結瞭偶然誤差的下列特性：絕對值很大的誤差不大可能出現；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的可能性大；絕對值相等的正誤差與負誤差出現的可能性相同。
設以Δ表示觀測的偶然誤差，
表示觀測對象的真值，
L表示它的觀測值，則有
。
圖1是正態分佈曲線圖。橫軸Δ表示偶然誤差的大小，縱軸f(Δ)表示偶然誤差的概率密度函數，則
，
式中σ 是密度函數中的一個參數。曲線在偶然誤差為零的兩側對稱。偶然誤差的概率分佈客觀地描述瞭它的隨機特性，偶然誤差和觀測值都是服從正態分佈的隨機變量。
圖1 正態分佈曲線
隨機變量的數字特征 為瞭從不同的方面來描述隨機變量的隨機特性，定義瞭一些數字特征。其中最重要的是數學期望、方差、中誤差（標準差）和協方差等。
數字期望表示隨機變量所有可能取值的平均值的極限。偶然誤差平方的數學期望定義為方差，記為D(Δ)，即：
，
式中E(Δ2)表示Δ2的數學期望。方差的平方根稱為中誤差或標準差，記為σ，即：
，
σ 是正態分佈曲線的拐點的橫坐標；σ 愈小，該曲線愈陡峭，表示小誤差出現的概率愈大，大誤差出現的概率愈小；也就是σ 愈小，測量精度愈高（圖2）。因此，測量工作中采用中誤差作為衡量觀測精度的指標。
圖2 正態分佈曲線隨σ 變化
由n個觀測構成的列向量
，
稱為n維觀測向量（T表示轉置），它是n維隨機向量。為瞭描述一個隨機向量的隨機特性，除瞭其中各分量的方差之外，還要知道兩分量之間的相關性，通常用協方差表示。它定義為兩個隨機變量相應誤差乘積的數學期望，即：
式中σij表征Li和Lj 之間的統計相關情況，若σij=0，則稱Li和Lj不相關。
將n維向量
的有關方差和協方差按一定順序排列成一個
n階方陣：
，
則稱DLL為向量
的協方差陣。其中主對角元素依次為各分量的方差；非對角元素為相應兩分量的協方差。
從DLL中提出一個稱為單位方差的公共因子 σ02，使
，
方陣QLL稱為權逆陣，也稱協因數陣。其中Qii(i=1，2，…，n)稱為第i個分量的權倒數，Qij稱為i、j兩分量的相關權倒數，而QLL的逆陣則稱為權陣，記為PLL，即：
。
當隨機向量中所有分量兩兩之間互不相關時，其協方差陣、權逆陣和權陣都是對角陣。當觀測向量
服從正態分佈時，它的聯合分佈密度函數為：
式中L、
均為
n維向量；
QLL是
L的協方差陣；｜
QLL｜為協方差陣的行列式。
在測量平差中，經常需要根據隨機向量的已知協方差陣來推求其函數的方差或者函數之間的協方差。例如，若有觀測向量
的
q個線性函數：
，
式中
是函數中的系數矩陣。又若已知觀測向量的協方差陣為
QLL，則
q維向量
Z的協方差陣為：
。
在q 階方陣DZZ中，主對角元素就是各函數的方差，非主對角元素分別為相應兩函數的協方差。這樣，各個函數的精度及其兩兩之間的相關情況就得到瞭全面的表達。所有用來計算隨機變量函數的方差或它們之間的協方差的公式，統稱為協方差傳播律，也常稱為誤差傳播律。若將協方差傳播律公式中的方差或協方差換成相應的權倒數，則稱為權倒數傳播律。在平差計算中，這兩種傳播律都是研究和分析精度以及相關性的有力工具。
最小二乘準則 在測量工作中，確定某些量或某個圖形所需要的最少觀測個數，稱為必要觀測數。例如，要確定一個平面三角形的形狀(一種幾何函數模型)，則必須知道其中任意兩個角度的大小，故必要觀測數為2。又如，要確定一個平面三角形的形狀和大小(另一種幾何函數模型)，則必須知道其中的兩角一邊，或兩邊一角，或三邊，故必要觀測數為3。如果實際觀測數超過瞭上述的必要觀測個數，就有瞭多餘觀測。以前一種情況為例，已知其必要觀測數為2，如果觀測瞭三角形中1、2、3三個內角，其觀測值和觀測誤差分別為L1、L2、L3和Δ1、Δ2、Δ3，則有瞭一個多餘觀測。若選定任意兩個（等於必要觀測數）獨立的量，例如選定1角和2角的真值
1和
2作為參數，則在觀測量的真值和參數真值之間應存在如下關系式：
另一方面，因為多餘觀測數為1，所以在觀測量真值之間相應地存在著一個（等於多餘觀測數）關系式：
（L1+Δ1）+（L2+Δ2）+（L3+Δ3）-180°=0。
以上所建立的兩種關系式，前者是將每個觀測量表達成所選定的獨立參數的函數，後者則是觀測量之間所應滿足的條件。這些關系式都稱為平差的函數模型。在這些模型中，除瞭觀測值之外，其餘均為待求的未知量。平差的目的就在於，根據已知的觀測值來估計滿足於上述模型的未知量。
設V為Δ的估值，x為
的估值，因此平差的目的也就是要求出滿足下述方程的
V和
x，即：
L1+v1=x1，
L2+v2=x2，
L3+v3=-x1-x2+180°，
或者
（L1+v1）+（L2+v2）+（L3+v3）-180°=0。
由於在以上方程中，待求的未知量多於方程的個數，因此其解是不惟一的。為瞭求得一組惟一的解，取其中能滿足如下附加條件
的一組解作為估計量，其中P為觀測向量L的權陣。這一附加條件就稱為最小二乘準則，由此而求得的
稱為觀測量的估值。
在經典平差中，最初隻限於進行一組不相關觀測的平差，此時P為對角陣，即：
，
當觀測精度相等時，則有
。
這就是經典平差中的最小二乘準則。
采用最小二乘準則作測量平差，未知量估值的數學期望等於未知量的數學期望，稱為估值無偏：同時估值的方差極小，這就是最佳估值的含義。
最小二乘準則也具有概率的含義。當觀測向量L服從正態分佈時，根據最大似然估計法同樣可以得到“
”的準則。最大似然估計就是在使觀測向量的聯合分佈密度函數取得極大值的條件下來確定
的估值
。從以上已給出的服從正態分佈的觀測向量
L的聯合分佈密度函數可看出，若
的估值為
，當“
=極小”時，則這個函數取得極大值。考慮到
，
，且
σ
0
2是一常數因子，因此也就是當“
”時，聯合分佈密度函數取得極大值。可見，在觀測向量服從正態分佈的情況下，最大似然估計與最小二乘估計是一致的。
過去待估的未知量，主要是三角點的坐標，水準點的高程，導線點的坐標等，它們一般不具有隨機性質，稱為非隨機參數，按上述最小二乘法可求出這種參數的最佳估值。然而，在許多學科中還會遇到隨機性的待估量，例如，在物理大地測量中，待估的重力異常、垂線偏差和高程異常就是隨機變量，這種未知量稱為隨機參數。隨機參數x同觀測值一樣，可預先確定其權陣，設為PX，則求x最佳估值的條件是
，
式中VX為隨機參數X的殘差向量。這個極小條件是上述最小二乘準則的推廣和發展，稱為擬合推估。
平差方法 在“
”的準則下求觀測量的估值
，隨著所選用的函數模型的不同，就有不同的平差方法。
設必要觀測數為t，多餘觀測數為r，觀測值個數為n。若選定 t個相互間不存在函數關系的未知量
作為參數，並建立起
=
L+
V同這些參數間的函數關系，即：
L+V=AX，
稱為觀測方程，或
，
稱為誤差方程，其中
為系數矩陣。在“
”的條件下，可以得出推求未知量
x的方程為：
，
這是系數成對稱的t階線性方程組，稱為法方程。選用這種函數模型的平差方法稱為間接平差法或參數平差法。
如果選定n個直接觀測量的估值
作為未知數，則在未知數之間存在著
r(=
n-
t)個函數關系
，
稱為條件方程，
為系數矩陣，
為已知常數項。上式可寫成
，
稱為閉合差。使
V 滿足準則“
”和上列條件方程，可得
，
代入
，得
，
稱為聯系數法方程，這是系數成對稱的 r階線性方程組。先由此解得聯系數K，再由P -1ATK求改正數V。選用這種函數模型的平差方法稱為條件平差法。
間接平差和條件平差是兩種最基本的平差方法。在此基礎上，隨著所選未知數的不同，又得到不同的平差法，如間接帶有條件平差法，條件帶有未知數平差法，以及混合平差法，等等。
誤差檢驗 參與測量平差的觀測值不應含有系統誤差，查明測量數據中是否存在系統誤差，需要進行誤差檢驗。
誤差檢驗采用數理統計方法，其本質是檢驗這組誤差是否符合正態分佈派生的各種性質。
傳統的誤差檢驗方法有:誤差正負號個數的檢驗；誤差正負號序列分佈的檢驗；誤差數值總和的檢驗；正誤差平方和與負誤差平方和之差數的檢驗；阿貝檢驗；阿貝-赫爾默特檢驗等。應用數理統計假設檢驗的理論，檢驗的內容更加擴大，檢驗效果也提高瞭。例如，檢驗母體的數學期望和方差是否同預設值相符，檢驗兩個母體的數學期望和方差是否相等，還可直接對誤差的分佈作出檢驗等等，這都有助於判定系統誤差是否存在，有助於發現系統誤差的來源，從而改善觀測方案和平差模型。
參考書目
武漢測繪學院最小二乘法教研組編著：《最小二乘法》，中國工業出版社，北京，1961。
周江文著，《誤差理論》，測繪出版社，北京，1979。
於宗儔、魯林成主編：《測量平差基礎》，第2版，測繪出版社，北京，1983。