辛流形

　　指定瞭一個辛結構的光滑流形。所謂的辛結構ω是指M上的一個非退化的、閉二次外微分式。若V是一個向量空間，所謂V上的一個辛結構σ是指V上的反對稱雙線性函數，即V上的二次外形式（見外微分形式），並且要求σ<是非退化的，即σ(α,β)=0對於所有的β∈V成立意味著α=0。由此得知V的維數是偶數，並且若φ:V→V是線性同構，並且保持σ不變，即φ*σ=σ，即σ(φ(α),φ(β))=σ(α,β),6α,β∈V，則φ是辛群SP(2n)的元素。辛流形(M,ω)的切空間T_x M有辛結構ω(x)，所以M必是偶維的。

　　設M是n維凱勒流形，g是它的埃爾米特度量，ω是對應的凱勒形式，則(M，ω)是一個辛流形。另一個典型的例子是光滑流形M的餘切叢T^*M（餘切向量，即一次形式的集合）。設(x¹,…,xⁿ)是M的局部坐標系，餘切向量α=∑α_idxⁱ的坐標是(x¹,…,xⁿ,α₁,…,α_n)，則

ω=d α=∑d α _i∧d x ⁱ 是 T ^* M上的辛結構。在力學中，微分流形 M是位形空間， T  ^* M是狀態空間， x ⁱ是廣義坐標， α _i是廣義動量。設 H是力學系統的哈密頓函數（廣義能量），則狀態方程是 T ^* M上的切向量場 稱為哈密頓向量場，由條件 i( v) ω=−d H刻畫。這樣，狀態方程的解是哈密頓向量場的軌線。力學系統的幾何理論促進瞭辛流形的發展。

　　在另一方面，辛流形(M,ω)可以與黎曼流形(M,g)相對照，差別在於辛結構ω是反對稱的，而黎曼結構g是對稱的，它們的性質卻大相徑庭。黎曼流形(M,g)有曲率張量，在局部等距下保持不變。而著名的達佈定理說：在辛流形(M,ω)的每一點存在局部坐標系(x¹,…,xⁿ,y¹,…,yⁿ)使得辛結構ω可表示為

。由此可見，辛流形的局部結構都是一樣的，於是研究辛流形的大范圍性質（辛拓撲）成為有挑戰性的課題。

　　辛流形的微分幾何是大傢關註的課題，並且辛流形的理論和方法在偏微分方程和物理的量子化中有很多應用。