研究函數的微分、積分以及兩者之間關係的數學分支。它是近代數學的基礎，並在力學、物理學、化學、天文學及其他自然科學以及工程技術中有廣泛應用。

　　簡史　微積分的產生是科學史上的一個重大事件。它是I.牛頓與G.W.萊佈尼茨在17世紀後半葉彼此獨立創立的。儘管如此，應當說微積分也是歷史和社會發展的產物。16世紀歐洲文藝復興後，由於航海、機械製造、天文觀測以及軍事等方面的需要，數學從過去隻研研究常量而拓展到研究變量。這是數學發展上的歷史轉折。在這一過程中，R.笛卡兒引進瞭坐標的概念，為描述空間質點的位置及其變化提供瞭重要途徑。後來又有許多人，如B.卡瓦列裡、P.de費馬、G.P.de羅貝瓦爾、E.托裡拆利和I.巴羅等人都對變量的研究作出瞭貢獻。在他們的一些著作中包含著微積分某些初步的思想。牛頓與萊佈尼茨正是在這些人的工作基礎上系統地創立瞭微積分的理論。

　　微積分的創立對當時的數學與自然科學的發展產生瞭巨大影響。過去人們不會計算的曲線所圍的面積，或彎曲曲面所圍的體積，而微積分對此提供瞭一般方法。此外，有瞭微積分之後，在相當一般的條件下，人們能處理各種極值問題。微積分廣泛地為力學和物理學提供瞭語言和工具，如力學中的瞬時速度、加速度以及一個變動的力所做的功等，從此有瞭準確的描述和計算方法。特別值得提出的是，牛頓利用微積分的理論，在開普勒三大定律的基礎上導出瞭萬有引力定律。

　　牛頓與萊佈尼茨時代的微積分是建立在無窮小概念的基礎上的。但他們關於無窮小的概念明顯地存在著混亂。無窮小到底是個什麼，牛頓和萊佈尼茨都沒有給出合理的解釋。在當時微積分的推演過程中，無窮小有時被看成是零，而有時又被看成不是零。

　　19世紀A.-L.柯西與K.外爾斯特拉斯等人建立瞭極限的嚴格理論，並把無窮小量解釋為極限為零的變量，消除瞭微積分和級數理論中邏輯上的混亂，並且為整個分析學的進一步發展奠定瞭基礎。

　　微積分的研究對象與內容　微積分研究的基本對象是函數。所謂函數，粗略地說就是因變量與自變量之間的一種確定的依賴關系。

　　在微積分的研究中，極限是一個基本工具。假若當自變量x無限接近某個值a時，相應的函數值y＝f(x)與某個數A無限接近，則說，當自變量x趨於a時，該函數y＝f(x)的極限為A；或者說，當x趨於a時，f(x)趨於A。記作

　　研究函數的因變量與自變量的變化比率導致瞭函數導數的概念。設y＝f(x)在一點a的附近有定義。考慮自變量x的在點a一個改變量Δx＝x－a。與其相應的因變量y的改變量是Δy＝f(a＋Δx)－f(a)。若當Δx趨於零時，因變量的改變量與自變量的改變量之比Δy/Δx的極限存在，則稱該極限為函數y＝f(x)在點a的導數，或微商，記為f′(a)。

　　函數的導數有明顯的物理意義與幾何意義：當s＝s(t)是路程函數時，也即t代表時間，而s(t)代表運動物體從開始到時刻t時所走過的路程，那麼函數的導數s′(t)則是運動物體在時刻t時的瞬時速度。當y＝f(x)是一條曲線的方程式時，那麼函數在一點a的導數f′(a)則是該曲線在點(a,f(a))處的切線的斜率。

　　一個函數y＝f(x)的導數所對應的函數f′(x)稱為f的導函數。常見函數有很簡單的計算公式。比如：

(sin x)′＝cos x(cos x)′＝ −sin x( a x)′＝ a x ln a

　　導數可以用來研究函數的性質。如果一個函數的導函數總是正的，那麼它的函數值隨自變量增大而增大；如果導函數總是負的，那麼其函數值隨自變量增大而減小。一個處處有導數的函數在一點達到極大或極小時，則函數在該點的導數為零。因此，微分學為研究極值問題提供瞭一般方法。

　　微分學中的另一個基本概念是微分的概念。設函數y＝f(x)在一個固定點a附近有定義。假定有一個常數A使得，當Δx很小時有

f( a＋Δ x)－ f( a)＝ AΔ x＋ αΔ x 式中 α→0(Δ x→0)，則稱函數 f在 a 可微，並把 AΔ x稱作函數 f在 a處的 微分，記作 d f。

　　這樣，一個函數的在一點處的微分，實際上就是因變量在該點的改變量Δy的主要部分，其次要部分是一個較高階的無窮小量；而這個主要部分是自變量改變量Δx的線性函數。

　　對一元函數而言，函數在一點a可微的充要條件是它在該點有導數，並且函數在a點的微分就是它在該點的導數乘以Δx，也即df＝f′(a)Δx。當Δx很小時，函數在一點附近的值f(a+Δx)可以用函數在該點的值及其微分近似表示：f(a+Δx)≈f(a)+f ′(a)Δx這樣，在知道瞭函數及其導數在一點的值之後，便可以計算函數在該點附近的近似值。

　　如果說微分學是研究函數的局部性態，那麼積分學則相反：它是研究函數的某種整體性質。比如，已知速度函數，求在一定的時間間隔內所走過的路程。又比如，已知一條閉曲線的方程，求它所圍的面積。

　　積分概念的萌芽思想可以追溯得很早。3世紀中國古代的數學傢劉徽的割圓術以及其後的祖沖之關於圓周率的計算，都包含瞭積分的萌芽思想。

　　積分有兩種：定積分和不定積分。

　　設y＝f(x)是一個給定的函數。若函數F(x)的導函數F′(x)等於f(x)，則稱F是f的一個原函數。f的一個原函數F加上一個任意常數C，就是f的不定積分，記作#f(x)dx。比如：#cosxdx＝sinx＋C#(1＋x2)dx＝x＋x3/3＋C#exdx＝ex＋C顯然，求一個給定函數的原函數或不定積分恰好是微分運算的逆運算。

　　函數的定積分的定義略微復雜。在微積分創立初期，定積分並沒有嚴格定義，而是籠統地認為定積分是無限個無窮小量的和。後來B.黎曼給出瞭嚴格定義。黎曼定積分的定義如下：設y＝f(x)是在區間[a,b]上定義的一個函數。對區間[a,b]插入若幹分點{xi}，其中

a＝ x 0＜ x 1＜…＜ x n－1＜ xn＝ b 在第 i個區間[ xi, x i＋1]中任意取一點 ξi並考慮和式 當分點無限加密時（嚴格地講，也即分割小區間長度Δ xi的最大者趨於零時）該和式有極限，則稱函數 f在[ a, b]上（黎曼）可積，並稱上述極限為 f在[ a, b]上的（黎曼）積分，記為 。

　　當f在[a,b]上連續且f(x)＞0時，定積分

恰好是曲線 y＝ f( x)與直線 x＝ a, x＝ b, y＝0所圍的面積。事實上，上述的和式是用小矩形的面積去替代對應的小的曲邊梯形的面積的結果。因此，上述和式是所求面積的一個近似值；一般說來，分點{ xi}越密，這個近似值越接近所求面積的精確值。通過取極限而最終達到面積的精確值。

　　定積分的概念有廣泛的應用。很多物理和幾何的問題可劃歸為一個定積分的問題，如求變動的力所做的功，求一條光滑曲線的長度或者非均勻密度的物體的質量等。

　　牛頓與萊佈尼茨的重大貢獻在於他們指出瞭定積分與原函數間的聯系：若F在(a,b)上是f的一個原函數，並且y＝f(x)在[a,b]上連續，則有公式

　　這個公式稱為牛頓–萊佈尼茨公式。這個定理也稱為微積分基本定理。有瞭這個公式，求定積分的問題就轉化成求原函數的問題，使得可對相當廣泛的函數計算定積分。

　　以上主要討論瞭一元函數的微積分，稱為一元微積分。

　　一個因變量若由多個自變量決定，則其對應關系稱作多元函數。關於多元函數的微積分稱為多元微積分。

　　多元函數的微積分要比一元函數的情形復雜些。與一元函數導數對應的是多元函數的偏導數，而與定積分對應的則有多元函數的多種積分：重積分、曲線積分和曲面積分。牛頓–萊佈尼茨公式在多元函數情形的推廣則是格林公式和斯托克斯公式等。

　　多元微積分在力學和物理學中有廣泛的應用，許多力學與物理現象和規律要用多元微積分和偏微分方程描述。

　　微積分的進一步發展　在牛頓與萊佈尼茨創立瞭微積分之後，微分學和積分學的研究不斷深化，並在力學與物理學廣泛應用中發展起瞭級數理論、積分方程、微分方程和變分法的理論，到瞭18世紀逐步形成一個大的數學分支——分析學，其中應該特別提到的是L.歐拉和J.-L.拉格朗日的重要貢獻。在19世紀，柯西等人的極限理論使微積分的理論基礎得到完善，同時微積分和級數的理論，被柯西、黎曼和外爾斯特拉斯推廣和應用到復變量函數上，形成瞭完整的解析函數論。在20世紀初，H.L.勒貝格提出一種新的積分（見勒貝格積分），其定義不同於上述的黎曼積分的定義。它使得更廣泛的函數有積分存在，並在數學理論上具有很多更好的性質。新的積分為泛函分析的發展奠定瞭基礎。後來又出現瞭比經典導數更為廣泛的廣義導數的概念，使微分方程理論得以進一步發展。值得註意的是，這些推廣不單是數學理論上的需要，而且也是物理學或其他研究的需要。20世紀下半葉，以微積分為基礎的分析學與其他數學分支相互交叉形成許多新的研究領域。