微分拓撲學

　　研究微分流形和可微映射的一個數學分支。微分流形除瞭是拓撲流形外，還有一個微分結構。因此，對於從一個微分流形到另一個微分流形的映射，不僅可以談論它是否為連續，還可以談論它是否可微分。微分拓撲學的奠基人是H.惠特尼，它研究的主要課題有微分同胚、微分浸入、微分嵌入、協邊理論等。

　　微分同胚　微分流形M和N稱作微分同胚的，如果存在M和N之間的一一對應f:M → N，使得f和它的逆映射f⁻¹:N → M都是可微映射。在微分拓撲學中，彼此微分同胚的流形被看作是等價的。把等價的微分流形看作屬於同一類。對微分流形進行分類是微分拓撲學最基本的問題。

　　如果f和f⁻¹僅僅是連續的，不一定可微，則M和N叫作是同胚的（亦即拓撲上等價的）。同胚的微分流形未必微分同胚。例如，用S⁷表示七維球面，即八維歐氏空間R⁸中所有單位向量構成的流形，則S⁷可被賦以不同的微分結構，使所得的微分流形是不微分同胚的。已經算出，與S⁷同胚的微分流形，按微分同胚來分類,一共有28類，當n≥5時,與Sⁿ同胚的微分流形的等價類的數目，已被證明是有限的，且對5≤n≤18，類數均已被算出，如下：

n	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
類數	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16 256	2	16	16

　　以R^m表示m維歐氏空間。當m≠4時，不論以何種方式給R^m賦以微分結構，所得的微分流形總是微分同胚的。一個很有意思的事實是，對R⁴可賦以不同的微分結構，使所得的微分流形是不微分同胚的。

　　當n＝1、2、3時，任意n維拓撲流形上必可賦以微分結構，且由同一拓撲流形賦以不同的微分結構所得的微分流形必微分同胚。因此，對一、二、三維流形，按微分同胚來分類和按同胚來分類是一樣的。

　　一維流形的分類很簡單。它們必同胚於開區間(0,1)，閉區間[0,1]，半開半閉區間[0,1)和圓周S¹中的一個，且這四個流形必不同胚。二維緊致無邊流形的分類早已被解決。而三維緊致無邊流形的分類問題是很困難的，尚未解決。

　　微分浸入　設f:M→N是一個可微映射，df:T(M)→T(N)是它的微分（見微分流形）,如果對任意x∈T(M),x≠0，有df(x)≠0，則稱f為微分浸入。兩個微分浸入f和g稱作正則同倫的，如果存在連續映射H:M×[0,1]→N，使得H₀(x)＝f(x),H₁(x)＝g(x)，則對任意t∈[0,1],H_t(x)是微分浸入，且由dH_t(x)所定義的映射

T( M)×[0,1]→ T( N) 是連續的。

　　關於微分浸入的存在性方面的一個經典結果是：n>1時，任意n維微分流形可以微分浸入於2n－1維歐氏空間中。這一結果後來被推廣成：設M是任意n維微分流形，N是任意2n－1維微分流形，f:M→N是任意連續映射，則f必同倫於某一微分浸入。

　　關於微分浸入按正則同倫的分類方面的一個經典結果是：設f:S¹→R²是圓周到平面的一個微分浸入，記f(e^iθ)處單位切向量為v(e^iθ)，則e^iθ→v(e^iθ)定義瞭一個S¹到S¹的映射。當θ從0增加到2π時，v(e^iθ)的角度連續地變化瞭2π的一個整數倍。記這一倍數為n_f（見圖），則f→n_f決定瞭S¹到R²的微分浸入的正則同倫類到全體整數的集合的一一對應。也就是說，兩個微分浸入f和g正則同倫當且僅當n_f＝n_g，且對任意整數n，必有微分浸入f，使n＝n_f。這一結果的一個推廣是：S^k到Rⁿ(n>k)的微分浸入的正則同倫類與π_k(V_n,k)一一對應，這裡V_n,k是Rⁿ中所有k個線性無關向量組構成的空間，π_k表示第k個同倫群。

微分浸入的正則分類

　　微分浸入的存在和分類問題已完全被化成瞭同倫論的問題。但由於相應的同倫論問題的困難，具體結果仍然不多。

　　n維微分流形Mⁿ到R^2n－1的微分浸入的分類問題已完全解決。對任意連續映射f:Mⁿ→N^2n－1，同倫於f的微分浸入的分類問題也已基本上解決。

　　微分嵌入　設f:M→N是微分映射，如果f(M)是N的微分子流形，並且f:M→f(M)是微分同胚，則稱f為微分嵌入。微分嵌入一定是微分浸入。兩個微分嵌入稱作正則同痕的，如果存在連接它們的正則同倫H_t，使對每一固定的t∈[0,1]，H_t是微分嵌入。

　　關於微分嵌入的一個經典結果是：任意n維微分流形可微分嵌入於2n維歐氏空間中。n≠1,4時，已證明任意n維可定向的緊致無邊微分流形可微分嵌入於R^2n－1中,n＝4時，可微分嵌入的充分必要條件已發現。

　　關於S¹在R³中的微分嵌入按正則同痕分類的問題是很復雜的，已成為一個獨立的研究分支，稱為紐結理論，它密切地關聯於三維流形的同胚分類問題。

　　與S¹在R³中的微分嵌入有無窮多個正則同痕類相反，中國數學傢吳文俊證明瞭：若n＞1，則任意n維微分流形在R^2n＋1中的任意兩個微分嵌入都是正則同痕的。

　　當n＞3(k＋1)/2時，k維微分流形到n維微分流形的微分嵌入的存在和正則同痕分類的問題已被化成同倫論問題，且已證明當k和n滿足上述關系時,S^k在Rⁿ中的任意兩個微分嵌入都是正則同w痕的，但S^4k－1在R^6k中的微分嵌入的正則同痕類卻與整數全體一一對應。

　　協邊　兩個n維的緊致無邊微分流形M和N稱為協邊的，如果存在一個n＋1維的緊致微分流形W,W的邊界恰由M和N組成。把兩個協邊的微分流形看成屬於同一協邊類，則按協邊關系來分類緊致無邊微分流形比按微分同胚來分類它們要粗略，因為任意兩個微分同胚的緊致無邊微分流形必是協邊的。與按微分同胚的精細分類問題至今未能解決形成鮮明對照的是，按協邊關系的粗略分類問題雖非容易，但卻已徹底解決。二維（或三維）的可定向緊致無邊微分流形都是協邊的，雖然未必微分同胚。實投影平面與二維球面是不協邊的。

　　上述協邊理論有很多推廣，如可定向流形的協邊論，映射的協邊論，穩定切叢有復結構的流形的協邊論，穩定切叢有標架的流形的協邊論等。其中標架協邊論與球的同倫群的研究有著互逆的關系，仍是拓撲學中重要的難題。

　　微分拓撲學雖是不同於代數拓撲學的一個獨立的數學分支，但它與代數拓撲學的關系極為密切。解決微分拓撲問題的許多基本工具，例如同調群、同倫群、拓撲K理論以及多種示性類等代數不變量都是從代數拓撲中借用過來的。

　　基於莫爾斯函數的臨界點理論的流形剜補術則首先是對微分流形發展起來的，然後被推廣至拓撲流形的情形。拓撲流形的剜補術在解決四維龐加萊猜想時發揮瞭作用。可見兩者互相滲透、互相促進。

　　

推薦書目

　米爾諾 J W. 從微分觀點看拓撲. 熊金城, 譯. 上海: 上海科學技術出版社, 1983.