剛體定點轉動

　　剛體繞一固定點的運動。繞固定點轉動的剛體隻有一點不動，而其餘各點則分別在以該固定點為中心的同心球面上運動。支在固定球鉸鏈上的剛體、萬向聯軸節中的十字頭、萬向支架中的陀螺轉子等，都可以作這種運動。定點轉動的剛體通常用歐拉角ψ、θ、φ來定位。

　　剛體的定點轉動方程為：

式中 t為時間。

　　達朗伯－歐拉定理　可表述為：定點轉動剛體的任何有限位移可用繞某軸的一次轉動來實現，該軸通過剛體的固定點。這個定理是J.le R.達朗伯於1749年，L.歐拉於1750年先後提出的，故得名。說明如下：

　　以中心在固定點O的任一球面截取剛體的截面圖形S（圖1）。

在剛體的有限位移中，圖形內一點由 A運動到 A ₁，而另一點由 B運動到 B ₁，則大圓弧 的中垂面 OA′ P ^＊和大圓弧 的中垂面 OB′ P ^＊的交線 OP ^＊就是剛體這一有限位移的轉軸。

　　微小角位移　在短暫的時間間隔Δt內，剛體繞軸OP^＊轉過一微小角度Θ，稱為角位移。它具有矢量的性質，可按平行四邊形規則相加。如果歐拉角定位，則當ψ、θ、φ有微小變化dψ、dθ、dφ時，剛體的微小角位移矢量Θ可表示成：

，

式中 i、 j、 k為固定軸系 Oxyz的單位矢； n、 k′為節線和動基軸 Oz′的單位矢（圖2）。

　　角速度　Δt趨向於零時，Θ趨於一個極限方向，Θ與Δt之比也趨於一個極限值ω。矢量ω稱為剛體在瞬時t的角速度，其數學表達式為：

，

式中

分別是繞三個歐拉角的軸 z、 n、 z′轉動的角速度。Δ t→0時轉軸 OP ^＊所趨於的極限位置 OP稱為剛體的瞬時軸，在每一瞬時，剛體以角速度 ω繞瞬時軸轉動。

　　瞬軸錐面　隨著時間的推移，剛體的瞬時軸要改變位置，它在固定空間描出一個錐面，稱定瞬軸錐面（即空間極錐的錐面）；同時在剛體內部也描出一個錐面，稱為動瞬軸錐面（即本體極錐的錐面）。由此可得潘索定理：剛體定點轉動可用動瞬軸錐面在定瞬軸錐面上的純滾動來代替。

　　在定瞬軸錐面上，剛體的角速度矢ω的端點E描出的曲線稱為ω矢端圖（圖3）。

　　角加速度　作定點轉動的剛體角速度ω通常是變量。角速度變化 Δω與對應時間間隔Δt的比值當Δt→0時所趨至的極限值ε稱為剛體在瞬時t的角加速度，其數學表達式為：

可以把 視為 ω矢端 E沿矢端圖運動的速度。

　　裡瓦斯公式　定點轉動剛體內任一點Q的速度v和加速度a的公式，它們是：

　　　　　　　　　　v＝ω×r，

a＝a₁＋a₂＝ε×r＋ω×v，

式中 r為點 Q的矢徑； a ₁= ε× r為旋轉加速度，沿著( ε， r)平面的法線，一般並不和速度 v共線； a ₂= ω× v為向軸加速度，恒垂直並指向瞬時軸(圖4)，但不是沿點 Q軌跡的主法線。

　　下面以分析碾盤的定點轉動為例作一說明。如圖5所示，碾盤在固定水平面上繞固定點O作無滑動的勻速滾動。碾盤和水平底盤相接觸之點P′的速度為零。OP是瞬軸，定瞬軸錐面是圓錐AOP，動瞬軸錐面是圓錐

OB。角速度矢 ω的端點 E具有線速度 u＝ ε，沿軸 Ox′正向。碾盤上 B點的速度 v _B平行於軸 Ox′，加速度 a _B＝ a ＋ a 且 a 垂直於 OB和 Ox′所在平面，而 a 垂直並指向瞬時軸 OP。