光在分介面上的折射和反射

　　當光通過兩種透明媒質分介面時，入射光分為反射光與折射光。這兩部分光行進的方向，雖可由反射定律及折射定律決定，但它們的相對強度和偏振的取向，則須由電磁波理論導出的菲涅耳公式來決定。

　　菲涅耳公式　設圖1的a和b中A、B為兩種不同的透明媒質，它們對真空的折射率分別為n₁與n<₂。兩者的交界面為垂直y軸的y＝0平面。如此y軸為該平面的法線，xy為入射面(也稱投射面)。當自然光入射到分界面時，由於自然光可分解為相互垂直並且相互獨立的兩個大小相等的平面偏振光，所以可把垂直入射面與平行入射面的電矢量分開來討論。以s表示垂直入射面，p表示平行入射面，則

分別表示垂直入射面與平行入射面偏振的入射光 r ₁、反射光 r ₁ ^′和透射光 r ₂的電矢量。又根據電磁波中 E與 H方向的規定，即 E垂直 H，給出瞭磁矢量 的方向。圖中箭頭表示各矢量在給定 r 的方向時的正方向。對垂直矢量，以 z為正方向， 即以⊙表示從入射面出來，指各該矢量的正方向。現在先分析電矢量垂直入射面的圖1a，在那裡磁矢量是平行入射面的。根據電磁理論的邊界條件：平行邊界的電磁場是連續的，即邊界這邊的等於邊界另一邊的，於是可導出偏振垂直入射面的反射光和折射光與入射光的振幅比，分別為

(1) (2)

　　再同樣分析電矢量平行入射面的偏振，得反射光和折射光與入射光的振幅比，分別為這四個公式稱菲涅耳公式。

(3) (4)

這四個公式稱菲涅耳公式。

　　以玻璃平面上的反射為例。設該玻璃對空氣的折射率n=n₂/n₁=1.50，在不同的入射角i₁，從菲涅耳公式，得到兩個不同偏振的反射光、折射光與入射光振幅的比，如圖2所示。實驗證明它們的關系是正確的。現在來討論幾個特殊情況。

　　半波損失　分兩種情況：

　　①對上例入射角為零時兩種偏振的反射光振幅與入射光振幅的比值都是(n-1)/(n+1)=0.2，但平行入射面的偏振為正而垂直入射面的偏振為負。按圖1所示的方向，表示反射光的電矢量都有 π的位相躍變，即所謂從光疏到光密媒質反射時有半波損失。反射與入射的光強比對兩種偏振都一樣。即

。故一個玻璃面，在垂直入射光照射下能反射 4％的入射光。因而在光學透鏡表面上需要塗鍍增透膜以減少反射。這門科學稱薄膜光學。它的基礎是菲涅耳公式。

　　②上面已提出在i₁=0時平行入射面的偏振，反射光與入射光的電矢量之間有π 相差。菲涅耳公式還指出，

在 i ₁小於偏化角 i _p時為正，等於偏化角時為0，大於偏化角時為負。負表示 的方向與圖1所指的方向相反，即 和 E _p1的位相經過大於 i _p的反射改變瞭 π。至於 是始終相反的。從這個結果，可以推出：光從光疏到光密( n ₂＞ n ₁)媒質進行折射時，在垂直入射（ i ₁≈0）及掠射時( i ₁≈90°)，在媒質面上，入射光與反射光的電矢量，不論偏振垂直入射面或平行入射面，都取相反振動方向，分別如圖3所示。這就是所謂從光疏到光密媒質反射時的半波損失。

　　偏化角　從圖2或式(3)，當

＝0，反射光中沒有平行入射面的偏振光，隻有垂直入射面的偏振光。由於 sin i ₁/ sin i ₂= n，此時 i ₁= i _p，得 i ₁＝ i _p＝ tg ^-1 n。對於 n＝1.50的玻璃， i _p＝57°。這個角稱為偏化角，亦稱佈儒斯特角，是D.佈儒斯特在1815年發現的。

　　因此在媒質面上利用偏化角反射是獲得偏振光最簡單的方法。但在透射光中還有偏振垂直入射面的成分，故透射光為部分偏振光。需要經過多次反射，如激光器共振腔的一端或二端，按佈儒斯特角放置平行窗片，經窗片多次來回反射可獲得偏振平行入射面的偏振光。

　　內反射　上面討論的從光疏媒質到光密媒質的反射稱外反射。下面討論從光密到光疏媒質的反射，稱內反射。仍采用i₁為入射角，i₂為折射角，但n₁＞n₂，n₂/n₁=1/n，仍保持n＞1，菲涅耳公式仍適用。此時偏化角

，全反射極限角 。當 i ₁＞ i _t， i ₂＞90°，光全反射。

　　在外反射中所討論的二偏振光的反射光與入射光的位相差δ_s與δ_p，可得位相差的差Δ

Δ＝δ_p-δ_s=0，當i₁﹤i_p，Δ＝π，當i₁＞i_p。

圖4a表示外反射中的Δ與i₁ 的關系。但在內反射中情況並非如此簡單，根據計算

(5) 。 (6)

它們二者位相差Δ為

(7)

這結果可用圖4b來表示。當i₁﹤i_p，Δ＝π，當i_p＞i₁＞i_t，Δ=0。當i₁＞i_t，Δ是連續變化，直至i₁＝90°，Δ＝0。其間有個最大值。將式(7)微分得最大值在

。此時 ( n ²－1)/ 2 n。取 n=1.51， i ₁=51°20′，因而得Δ＝45°56′。即如原始入射光中的平行偏振與垂直偏振是同位相的，經過在 i ₁＝51°20′的內反射後，兩偏振產生瞭45°56′最大的位相差。菲涅耳設想如在玻璃內欲得Δ＝45°， 則從式(7)，得 i ₁＝48°37′或 i ₁＝54°37′。將玻璃磨制成如圖5的棱體，當平面偏振光的偏振取向與入射面成 45°角射入棱體，棱體內有兩個偏振相互垂直、振幅相等、位相相同的平面偏振光，在棱體中進行兩次 i ₁＝54°37′內反射， 獲得90°的位相差，合並為圓偏振光從棱體出來。實際上波長設計在 5896Å，其結果可從4200～7600Å范圍內做到 Δ＝90°±0.4°。菲涅耳棱體可稱消色差四分之一波片，見 光的偏振。