模糊邏輯

　　非經典邏輯的一個領域，也是多值邏輯的繼續。亦譯弗晰邏輯。人們的概念可大致分為兩大類，一類概念是確定的，如“人”、“太陽系的行星”、“自然數”等，它的外延可以用經典集合刻畫，另一類概念是非確定的，它們的外延不能用經典集合刻畫，如“在甲地在乙地的附近”、“丙段路很滑”、“張三是位高個子”等命題中的“附近”、“很滑”和“高個子”等概念的外延是不確定的，或者說，它們都是非確定的集合。在人們的思維活動中常常要運用非確定的概念進行推理活動，而含有非確定性概念的命題就稱稱之為非確定性命題或弗晰命題。弗晰邏輯或模糊邏輯研究弗晰命題之間的推演關系。這裡所說的推演關系，不僅是經典的推演關系，而且也可以是弗晰的非經典的推演關系。在這一研究中，人們用非經典的集合即弗晰集合表示非確定性概念，並且用單位區間〔0，1〕中的元或用弗晰集合作為弗晰命題的真值，並且建立相應的弗晰推演關系。

　　形成和發展過程　1965年，美籍伊朗學者L.A.紮德運用連續統值邏輯作為工具建立瞭弗晰集合理論。它在理論上產生瞭許多有趣的結果，並在實際中有著廣泛的應用。1967年，紮德使用弗晰集合作為非確定概念的數學描述解釋非確定性命題，初步建立瞭弗晰邏輯。1972年後，經過紮德和美國學者A.坎德爾、美籍華人學者C.L.張和R.C.T.李等人的工作，弗晰邏輯無論在理論上或者在應用上都獲得瞭較大的發展。

　　基本內容　弗晰邏輯的基本內容包括邏輯基礎、弗晰算法、弗晰模型和弗晰集合公理等理論研究及其應用。弗晰假言推理是弗晰邏輯的一個基本規則。設Ｓ₁、Ｓ₂分別為論域U與V上的弗晰集合，而對於U中元a和V中元ｂ，有弗晰命題a ∈Ｓ₁、ｂ∈Ｓ₂，它們分別記做Ａ和Ｂ。這時，對弗晰蘊涵式“若Ａ則Ｂ，”用μ表示類屬函數，就可用μ_R(a，ｂ) 表示弗晰關系Ｂ在點＜a，ｂ＞時的類屬度，它的定義可用下式給出：

μ_R(a，ｂ): =max[min(μ_S1(a)，μ_S2(ｂ))，1-μ_S1(a)]，

其中 μ _S1( a)表示 a對於弗晰集合 Ｓ ₁的類屬度， μ _S2( ｂ)表示 ｂ對於弗晰集合 Ｓ ₂的類屬度，而 min(с，ｄ)表示 с，ｄ ₂數的極小者，max( e， ｆ)表示 e， ｆ ₂數的極大者，並且以弗晰關系 R( a，ｂ)表示弗晰命題( Ａ→Ｂ)。由 假言推理，從 Ａ→Ｂ與 Ａ可得 Ｂ，也就是

Ｂ =Ａ∧(Ａ →Ｂ)。

該式可用Ｓ₂=Ｓ₁OＲ表示，O是弗晰集合對弗晰關系的一個運算。當弗晰命題Ａ'近似於Ａ，或者說Ａ'與Ａ為弗晰相等的命題時，應當有某一弗晰命題Ｂ'滿足

Ｂ'=Ａ∧(Ａ →Ｂ)；

當用a ∈₁^′與ｂ∈₂^′分別表示弗晰命題Ｂ'與Ａ'時，則對於每一ｂ∈V都有

μ_埐OR(ｂ)=sup{min[μ_埐(a)，μ_R，(a，ｂ)]|a∈V}。

其中 SUPS表示集合 S中的最小上界，μ _埐 O R（ ｂ）即μ _埞( ｂ)，亦即弗晰集合 ₂^′在 ｂ的類屬度，就是集合{min[μ _埐(a)，μ _R( a，ｂ)]| a∈ V}。的最小上界。在實際應用中， A'與 B'常常是已知多因素的弗晰命題，也就是 ₁^′為矩陣( aiｊ)ｍ×ｓ，₂^′為矩陣( ｂiｊ)ｍ×n，即其中 aiｊ，ｂiｋ為〔0，1〕中的已知數；而 Ｒ為未知矩陣( ｘｊｋ)ｓ×n，即 ｘｚｋ為〔0，1〕中的未知數。這就需要求解弗晰關系方程，從而把推理問題轉換為計算問題。法國桑賽日等不少學者在這一領域裡進行瞭研究，並把它們已應用於醫療診斷和 人工智能中。

　　弗晰算法與弗晰模型是把數理邏輯在算法論與模型論中的研究結果弗晰化，就是把二值命題的結果推廣到〔0，1〕值的情形。弗晰集合公理的研究，是證明弗晰集合結構是ZF系統的非標準模型，這樣，弗晰集合的公理系統就是著名的ZF公理系統。

　　

參考書目

　T.A.紮德著，陳國權譯：《模糊集合、語言變量及模糊邏輯》，科學出版社出版，北京，1982。