大系統穩定性理論

　　分析判斷大系統能否正常穩定運行的理論和方法。穩定性是分析、綜合、設計大系統時必須考慮的重要問題，是大系統定性分析的主要內容。不穩定的大系統不能正常運行。

　　基於穩定性的定義不同，分析大系統穩定性的方法有兩種：①李雅普諾夫函數法（見李雅普諾夫穩定性理論）。考慮系統輸入為零時，研究在初始狀態激勵下大系統內部狀態運動特性的穩定性，這是自動控制理論中李雅普諾夫意義下的穩定性的推廣。②輸入輸出法。考慮輸入的作用，研究大系統在零初始條條件下，對系統的有界輸入是否會產生有界輸出，這是輸入輸出特性意義下的穩定性。這兩種方法雖然分析問題的角度不同，但有相同的解題思路：確認大系統穩定性既依賴於各子系統的穩定性，又和各子系統之間的關聯有關，故都采用分解技術，將大系統分解為幾個孤立子系統，並以適當形式關聯而合成大系統（見表）。先按系統穩定性理論研究各子系統的穩定性，並設法定量地測算其穩定程度，同時定量地測算子系統之間關聯的強弱對合成大系統穩定性的影響，根據這些測算找到某種條件去判斷合成大系統的穩定性，稱為大系統穩定性判據。關於分析大系統穩定性的判據，人們已提出許多不同的型式，但都是充分條件，而沒有一個必要條件。用穩定性的充分條件判定失敗，還不能說明這個大系統是不穩定的，而隻有用不穩定性的充分條件判定成功後，才能認定這個大系統是不穩定的，反之亦然。

大系統穩定性分析方法的對比

　　李雅普諾夫函數法　分為標量李雅普諾夫函數法和向量李雅普諾夫函數法。有一種常用的分析耦合關聯作用可分離系統(即各子系統之間的關聯程度較弱的系統)的穩定性的特例，稱為加權和李雅普諾夫函數法。設大系統的微分方程是

式中x為m 維狀態向量；f為向量函數；x=0，f(0,t)=0為平衡點。假設這個大系統是可分離系統,分解為n個子系統，用下式表示：

式中g_i(x，t)叫關聯項，表示所有其他子系統x對第i個子系統的關聯性質。如果切斷這種關聯(即g_i(x，t)=0),就能單個分析各孤立子系統(或自由子系統)

的穩定性。對於每個子系統可分別作出李雅普諾夫函數 V_i( x_i，t), 同時定義合成大系統的加權和李雅普諾夫函數為

式中d_i為正的常數，叫加權因子，表示各孤立子系統對合成大系統穩定性的影響程度。可用數學方法定量地計算各子系統對合成大系統穩定性影響的程度，由關聯項定量地計算各子系統之間的關聯強弱。如果子系統穩定程度的測度整體上大於關聯的強度，則整個大系統是穩定的。

　　上述李雅普諾夫穩定性判據的優點是允許在合成大系統中有個別孤立子系統是不穩定的，隻要略加數學上的處理，判據仍能適用；這種穩定性判句的缺點是尋找李雅普諾夫函數較困難，沒有一個確定的通用方法，通常隻能參照以往的研究成果，根據大系統的具體情況反復探求。

　　小增益定理　用來給出系統的有界輸入產生有界輸出的充分條件。它是輸入輸出法的理論基礎。圖1所示反饋控制系統中,u₁、u₂為系統的輸入；y₁、y₂為系統的輸出；e₁、e₂為誤差信號；H₁、H₂為系統本身的特性。明顯地存在以下關系：

小增益定理給出：當H₁、H₂的增益的乘積小於1時，系統的有界輸入產生有界輸出。

　　輸入輸出法　圖2表示合成大系統中與第i個子系統有關的部分,x_i、u_i為系統的輸入；w_i、v_i為固定參考輸入信號 _zi、y_i為系統的輸出；e_i、f_i為誤差；i=1，2，…,n表示各子系統的序號。H_ii是第i個子系統本身的特性；B_i1、B_i2、…等表示第1個、第2個、…子系統與第i個子系統之間的關聯耦合關系。假設把這些關聯耦合關系切斷,單獨研究第i個子系統的穩定性時,可用孤立子系統框圖簡化地描述。根據小增益定理，對孤立子系統的穩定性程度可找到一個定量的測度,就是算子H_ii和B_ii的增益；而從合成大系統框圖(圖3)看出,通過

可以定量地計算各子系統之間的關聯程度。用數學方法認定以上關系都是有界的，各子系統的穩定程度的測度整體上大於各子系統的關聯強度，則整個大系統是輸入輸出穩定的。

　　

參考書目

　A.N.Michel,R.K.Miller, Qualitative Analysis ofLarge Scale Dynamic Systems, Academic Press, NewYork,1977.