一種求偏微分(或常微分)方程和方程組定解問題的數值解的方法,簡稱差分方法。
微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求微分方程的解。在空間區域的邊界上要滿足的定解條件稱為邊值條件。如果問題與時間有關,在初始時刻所要滿足的定解條件,稱為初值條件。不含時間而隻帶邊值條件的定解問題,稱為邊值問題。與時間有關而隻帶初值條件的定解問題,稱為初值問題。同時帶有兩種定解條件的問題,稱為初值邊值混合問題。
<定解問題往往不具有解析解,或者其解析解不易計算。所以要采用可行的數值解法。有限差分方法就是一種數值解法,它的基本思想是先把問題的定義域進行網格剖分,然後在網格點上,按適當的數值微分公式把定解問題中的微商換成差商,從而把原問題離散化為差分格式,進而求出數值解。此外,還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的數值穩定性、差分格式的解與原定解問題的真解的誤差估計、差分格式的解當網格大小趨於零時是否趨於真解(即收斂性),等等。
有限差分方法具有簡單、靈活以及通用性強等特點,容易在計算機上實現。
偏微分方程初值問題的差分法 許多物理現象隨著時間而發生變化、如熱傳導過程、氣體擴散過程和波的傳播過程都與時間有關。描述這些過程的偏微分方程具有這樣的性質:若初始時刻t=t0的解已給定,則t>t0時刻的解完全取決於初始條件和某些邊界條件。利用差分法解這類問題,就是從初始值出發,通過差分格式沿時間增加的方向,逐步求出微分方程的近似解。
雙曲型方程的差分方法 最簡單的雙曲型方程的初值問題是:
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u(x,t)=φ(x-at)。 (2)
由(2)可見,(1a)(1b)的解(2)當 a>0時代表一個以有限的速度 a沿特征線 x- at=常數向右傳播的波,而解 u( x, t)在 P(帛,鄎)點的值完全由 φ( x)在 x軸上的點 A(帛-а,0)的值決定。 A點就是雙曲型方程(1a)在 P點的依賴域(圖1)。現以初值問題(1)為例介紹初值問題差分方法的基本思想。![](/img1/15036.jpg)
①剖分網格 用網格覆蓋(1a),(1b)的定解區域,如圖2所示,在x,t平面的上半部作兩族平行於坐標軸的直線:
x=xj=jΔx, j=0,±1,±2,…
t=tn=nΔt, n=0,1,2,…
並稱之為網格線。Δ x,Δ t分別稱為空間步長和時間步長。網格線的交點( jΔ x, nΔ t)稱為格點。②建立差分格式 以下除特別聲明外,總設a>0,由泰勒公式,有:
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(3a)和
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-1<θ2<0 (3b) 解出
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(4)式中
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(5)
E
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式(6)還可寫成:
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初值條件(1b)此時就是:
u
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差分方程(6)和相應的初值條件(7)合稱差分格式,利用這些格式可逐步算出t=Δt,2Δt,…各時間層的u
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③差分格式的截斷誤差和相容性 (5)中的E
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代替(1a)中的
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但是,並不是每個相容格式都有用。
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④差分格式的收斂性 設P(帛,鄎)是求解區域中的一點,取步長Δx,Δt使帛=jΔx,鄎=nΔt,用差分格式算出u
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雙曲型微分方程的解,對求解區域內一點(帛,鄎)而言,在初值區域內有一個依賴域,差分方程也是如此,對於差分方程(6),點(jΔx,nΔt)的依賴域是初值線上區間[(j-n)Δx,jΔx]。如令Δt/Δx=r=常數,帛=jΔx,鄎=nΔt,則差分方程(6)在點(帛,鄎)的依賴域為[帛-a鄎/r,帛],並且步長比r固定時,依賴域與Δx,Δt無關。
差分方程(9)在(帛,鄎)的依賴域是[帛-a/r,+a鄎/r],而差分方程(11)的依賴域則是[帛,帛+│a│/r],R.庫朗等人曾經證明,差分格式收斂的一個必要條件是差分方程的依賴域應包含微分方程的依賴域,這個條件叫作“庫朗條件”。從圖3中可以看到,對於差分方程(6),這個條件是帛-a鄎/r≤帛-a鄎≤,即
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帛≤-a≤帛+│a│鄎/r;
在a>0時,顯然不能成立,所以格式(11)當a>0時不收斂,因而也是無用的。格式(6)a>0在而庫朗條件
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如果a<0,格式(6)不收斂。但當
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⑤差分格式的穩定性 用一個差分格式計算
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對於線性偏微分方程組的穩定性理論,J.von諾伊曼曾用傅裡葉分析作瞭系統研究,把差分方程的解表成諧波的疊加,考察其中一個諧波
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(12)
的增長情況,式中k為實數;G=G(k,Δt)稱為增長因子。若對於一切諧波,(12)的振幅一致有界,即對一切合於0≤nΔt≤T的n和充分小的Δt都有|Gn|≤K,K為常數,則此差分格式是穩定的。具體地說,對格式(6),把(12)代入(6),得:
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相容性和庫朗條件都不能保證穩定性,例如對格式(9),把(12)代入,得:
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P.D.拉克斯1956年曾證明:對於線性偏微分方程組的適定的初值問題,一個與之相容的線性差分格式是收斂的格式的充分必要條件是這格式的穩定性。
非線性問題沒有相應的等價定理。
拋物型方程的差分方法 拋物型方程的定解問題是初值問題或初值邊值問題。為瞭說明拋物型方程差分方法的某些特點,考慮熱傳導方程的初值、邊值問題:
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x=xj=jΔx, j=0,1,…,Μ,
t=tn=nΔt, n=0,1,2,…,N(=T/Δt),
剖分求解區域為矩形網格(見圖4),式中Δx=1/Μ,Μ為正整數。利用數值微分公式:
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用消去法可導出如下兩套遞推公式:
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偏微分方程邊值問題的差分法 物理上的定常問題,如彈性力學中的平衡問題,亞聲速流、不可壓粘性流、電磁場及引力場等可歸結為橢圓型方程。其定解問題為各種邊值問題,即要求解在某個區域D內滿足微分方程,在邊界上滿足給定的邊界條件。橢圓型方程的差分解法可歸結為選取合理的差分網格,建立差分格式,求解代數方程組以及考察差分格式的收斂性等問題。
泊松方程是橢圓型方程的典型例子,它的第一邊值問題為:
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通常可將定解區域剖分成矩形網格或三角形網格。三角形網格對不規則區域較為方便。為簡便起見,設D為單位正方形,x和y方向均取為等距步長h,並用直線xi=ih,yj=jh(i,j=0,1,2,…,N)將此正方形D={0≤x≤y≤1}剖分成正方形網格。
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在格點(i,j)上,微商uxx、uyy分別用x、y方向的二階中心差商來代替,得到差分格式:
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u=(u1,1,u1,2,…,u
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I為(N-1)×(N-1)的單位矩陣,S亦為(N-1)×(N-1)矩陣。
偏微分方程邊值問題的差分方程組的特點是系數矩陣中非零元素很少,即是稀疏矩陣。近年來由於稀疏矩陣技術的發展,解差分方程組時,直接法受到瞭較多的重視。迭代法是用逐次逼近的方式得到差分方程組的解,它的存儲量小,程序簡單,因此常用於橢圓型差分方程組的求解。迭代方法很多,最基本的有三種:
①同時位移法(也稱雅可比法):
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n代表迭代的次數。
②逐個位移法(也稱賽德耳法):
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當
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③松弛法:
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當
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![](/img1/15103.gif)
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差分方法的發展和應用 前面闡述瞭兩個自變量,線性方程的差分法。實際問題常會遇到多個自變量,非線性的方程或方程組;它們還可能是混合型的偏微分方程(如機翼的跨聲速繞流),其解包含著各種間斷(如激波間斷、按觸間斷等)。非線性問題的差分法求解是十分困難的。隨著電子計算機的發展,在解決各種非線性問題中,差分法得到瞭很快的發展,並且出現瞭許多新的思想和方法,如守恒差分格式,時間相關法、分步法等。
守恒差分格式 數學物理偏微分方程通常代表某種物理、力學中的守恒律(如質量守恒、動量守恒、能量守恒、粒子守恒等)。原始問題的差分格式,若能保持同樣的守恒性質,就稱為守恒差分格式。守恒性反映出物理問題的整體性質,用它來檢驗差分格式的好壞是合理的。對於間斷的問題,守恒格式特別重要。從積分守恒關系式出發,利用積分插值方法容易得到守恒格式。這時對於復雜的求解區域、各種類型邊界條件、間斷系數等復雜情況都可以處理。
時間相關法 把定常的微分問題用一個相應的非定常問題來代替,然後用差分法解後者的初值問題,要求當t→∞時,它的穩定解為原來問題的解,這類方法叫作時間相關法。實踐上,當計算時間足夠大時,就能得到滿足給定精度的近似解。例如拉普拉斯方程第一邊值問題:
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![](/img1/15107.gif)
(27)
來代替。若用顯式格式計算(27),可避免解大型代數方程組。特別是當微分方程的類型在定解區域內發生變化時,可隻用一種類型來算,而使問題大大化簡。這種方法在定常問題中廣泛使用。缺點是達到定常解的計算時間較長,有待改進。分步法 把復雜的問題的每一時間步分解成幾個中間步,例如把多維問題按坐標分解為幾個一維問題,然後用差分法解這些比較簡單的各中間步,最後得到原始問題的近似解,這類方法叫作分步法。交替方向法、預估-修正法、時間分裂法、因式分解法等都屬此類。以二維拋物型方程定解問題:
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有限差分方法已成為解各類數學物理問題的主要數值方法,也是計算力學中的主要數值方法之一。有些解偏微分問題的方法(如特征線法、直線法)實質上也是差分方法的一種形式。在固體力學中,有限元方法出現以前,主要采取差分方法;在流體力學中,差分方法仍然是主要的數值方法。當然,對於某些具有復雜的幾何形狀及復雜的流動現象的實際問題,差分方法還有待進一步發展。
參考書目
馮康等編:《數值計算方法》,國防工業出版社,北京,1978。
胡祖熾編:《計算方法》,高等教育出版社,北京,1959。
清華大學、北京大學《計算方法》編寫組編:《計算方法》,科學出版社,北京,1980。
朱幼蘭等著:《初邊值問題差分法及繞流》,科學出版社,北京,1980。
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