以偏微分方程的特徵理論為基礎,求解雙曲型偏微分方程的一種近似計算方法。如問題比較簡單,用這種方法可求出分析解或近似的分析解;如問題複雜,也可求得準確度很高的數值解。此外,特徵線法還可用來對雙曲型問題作定性分析,尤其是可用來研究怎樣給出初始條件和邊界條件使問題適定。這對設計求解雙曲型微分方程的其他類型的數值方法有指導意義。特徵線法早在19世紀末就已出現,20世紀30~40年代用手算就已解決不少問題。電子電腦出現後,此方法更趨完善,並得到廣泛應用。
特征線雖是一個抽象的數學概念,但其物理意義在某些問題中很清楚。如圖1所示的定常二維淺水波,肉眼就可看到特征線。圖1之a表示水流從傾斜的平面上以流速v下瀉。水流中有一個多棱角的小石子,每個棱角對水流的小擾動,都表現為一條波紋(圖1之b)。當平均流速v超過
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(1)
式中 u為質點速度; ρ為密度; p為壓力; S為 熵; x為坐標; t為時間。為求解(1)還要引進聲速 c和狀態方程 c= c( p, S), ρ= ρ( p, S)。式(1)是具有兩個自變量和三個未知函數的雙曲型方程組。它是非線性的。現以解此方程組來說明特征線法的要點。通過變換可將(1)轉換成等價的方程組(2),(2)的每個方程隻包含沿某個方向的微商。這樣的方向就是“特征方向”。(1)的第三式是沿著方向 d x= u d t的微商,因此, d x= u d t就是一個特征方向。![](/img1/14641.gif)
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(2)
(2)中兩式分別隻有沿方向dx=(u+c)dt和dx=(u-c)dt的微商。因此,dx=(u±c)dt就是(1)的另兩個特征方向。
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(3)
特征線法正是通過上述的變換,將求解偏微分方程組(1)的問題化成求解簡單得多的常微分方程組(3)的問題。![](/img1/14645.jpg)
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考慮(x,t)平面上兩個充分接近的點Q1和Q2(圖3),設這兩點的u,p,ρ,S,c都已知,把過Q1點的特征線dx=(u+c)dt與過Q2點的特征線dx=(u-c)dt的交點記作Q3。再從Q3向時間小的方向作特征線Q3Q4即dx/dt=u,u的值暫用Q1,Q2兩點u的平均值。Q3Q4同Q1Q2的交點為Q4。在Q1…Q4這些點上,所有各量(u,p,ρ,c,S,x,t)都用相應的記號表示。為瞭求Q3點的x3,t3,u3,p3,S3,然後用狀態方程求出ρ3,c3,可將方程(3)近似地表示為:
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(4)
(4)中的 S![](/img1/14649.gif)
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如果在一條與特征線不相切且同t軸方向接近的曲線段ΜN上給定初值(圖4),
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參考書目
R.Courant and K.O.Friedrichs,Supersonic Flowand Waves,Interscience Pub.,London,1956.