超圓法

　　解數學物理問題的一種近似方法，是美國的W.普拉格和J.L.辛格於1947年在討論彈性靜力問題時提出的。辛格後來又把它推廣應用於一般數學物理邊值問題。實質上超圓法是一種函數空間方法，其特點是將泛函分析的解析概念形象化。用它能具體地給出問題精確解的上下界。超圓法屬於泛函分析的範疇，在用它處理實際問題時，須解決下面三個問題：①選擇什麼函數或函數集合來對應於函數空間的一個點或向量；②確定函數空間中合適的數量積的定義，並給出函數空間的度量；③定義鬆弛問題，即定義函數數空間中的全伴矢量、餘矢量和齊次相伴矢量。

　　用超圓法解彈性靜力問題時，所選擇的是實線性應力空間，空間中一個點P代表彈性體內一點的應力狀態σ_ij，用函數集合σ_ij定義函數空間內一點P，它可用自原點O(σ_ij=0)到點P的位置矢量代表。其次，用應變能的兩倍定義函數空間中兩個矢量的數量積。再次，令S代表滿足彈性力學的平衡方程、應變協調方程和全部邊界條件的精確解；S′代表僅滿足平衡方程和應力邊界條件的基本應力解，即全伴矢量；S″ 代表僅滿足應變協調方程和位移邊界條件的基本位移解，即餘矢量；I_q^′(p=1，2，...，m)代表滿足自身平衡方程和零應力邊界條件的標準正交齊次應力矢量；I_q(q=1，2，...，n)代表滿足應變協調方程和零位移邊界條件的標準正交齊次位移矢量。這樣，彈性靜力問題的解矢量S的端點就在圓心為C、半徑為R的超圓г上，г的方程為：

　　　　　　S＝C＋RJ，　　J·J＝1，

式中J是滿足下述正交條件的單位參數矢量(即J被限制在一個超平面上)：

　　　　　J·I_q^′＝0　(p＝1，2，...，m)，

　　　　　J·I_q^″＝0　(q＝1，2，...，n)；

而C和R由下列等式確定：

　　　

　　　

　　　

　　　

Γ上的矢量S滿足不等式：

　　　　　　｜S₁｜≤｜S｜≤｜S₂｜，

S₁和S₂分別為г上離應力空間原點最近和最遠的點的矢量，它們可由下式確定：

式中矢量G為：

式中 I _r( r=1，2，...， m+ n)代表 I _q ^′和 I _q的全部集合，它也是函數空間中的一組標準正交矢量。下圖在三維空間中表示出 C、 S、 S ₁和 S ₂之間的幾何關系。超圓法就是按上述過程找到 S ₁和 S ₂，並以它們作為真實應力矢量 S的上、下界。

　　

參考書目

　W.Prager and J.L.Synge，Approximations inElasticity Based on the Concept of FunctionSpace，Quarterly of Applied Mathematics，Vol.5，pp.241～271，Oct.1947.

　J.L.Synge，The Hypercircle in Mathematical Physics，Cambridge Univ.Press，Cambridge，1957.