伊辛模型-百科詞條

　　描述物質相變的一種模型。物質經過相變，要出現新的結構和物性。發生相變的系統一般是在分子之間有較強相互作用的系統，又稱合作系統。

　　在鐵和鎳這類金屬中，當溫度低於居裏溫度（見鐵磁性）時，原子的自旋自發地傾向某個方向，而產生宏觀磁矩。溫度高於居裏溫度時，自旋的取向非常紊亂，因而不產生淨磁矩。當溫度從大於或小於兩邊趨於居裏溫度時，金屬的比熱容趨於無限大。這是物質在鐵磁性狀態和非鐵磁性狀態之間的相變，它並不包含在P.厄任費斯脫所分分類的相變中。伊辛模型就是模擬鐵磁性物質的結構，解釋這類相變現象的一種粗略的模型。它的優點在於，用統計物理方法，對二維情形求得瞭數學上嚴格的解。這就使得鐵磁性物質相變的大致特征，獲得瞭理論上的描述。

　　這個模型所研究的系統是由N個陣點排列成n維周期性點陣，這裡n=1，2，3。點陣的幾何結構可以是立方的或六角形的，每個陣點上都賦予一個取值+1或－1的自旋變數s_i，如果s_i＝+1，即第i個陣點的自旋向上；如s_i＝-1，即第i個陣點的自旋向下。並且認為隻是最近鄰的自旋之間有相互作用。點陣的位形用一組自旋變數{s_i}（i＝1，2，…，N）來確定。圖1是一個二維伊辛模型的示意圖，圖中挋表示自旋向上，挌表示自旋向下。

　　處理方法　20世紀30年代初，不少科學傢如W.L.佈喇格、E.J.威廉斯、H.A.貝特、R.E.佩爾斯等人就已從有序－無序轉變問題及點陣氣體等模型出發，采用平均場近似法處理伊辛模型。

　　佈喇格－威廉斯平均場近似法認為，某一陣點上的自旋取某一方向的幾率同近鄰陣點上的自旋取向無關，隻同自旋在該方向的數目成正比。每個陣點上有一平均磁場，自旋在陣點上的取向隻同該磁場有關。用這種方法可求得下列公式

式中μ是每個自旋的磁矩，n′是每一陣點的最近鄰數，H是外磁場強度，T是熱力學溫度，ε是自旋同向的最近鄰對之間的相互作用能（鐵磁性物質ε＜0，非鐵磁性物質ε＞0），k是玻耳茲曼常數，m是每個自旋上的磁化強度，可表示為

，其中 N是總陣點數，

、

分別代表自旋向上和向下的總陣點數，顯然

= N。

　　由此研究鐵磁性物質的性質，得到如下結論：存在一臨界溫度

，當 T＞ T _c而 H＝0時，物質不磁化，沒有相變；當 T＜ T _c時，盡管仍有 H=0，但磁化強度 m可不為零（可取正值或負值），鐵磁性物質存在相變。這個結論對一維、二維、三維點陣都應成立，但嚴格的證明指出，二維、三維伊辛模型在臨界溫度以上仍有相變。這反映瞭平均場近似法的簡單、粗糙。當然，用它處理臨界溫度以下鐵磁性物質的相變，仍是一種有意義的方法。

　　20世紀40年代L.昂薩格對伊辛模型采用解析法得到瞭嚴格解，作出瞭突出的成就。這種方法的基本點，是設每個陣點的自旋變數可取+1和－1兩個值，考慮陣點上自旋的某個位形，計算每個自旋同最近鄰自旋的相互作用能量以及同外磁場相互作用能量，再對全部可能的位形求和，用矩陣的方法求出配分函數，從而得到各個熱力學函數。

　　一維情況　考慮具有N個自旋的直線鏈（圖2所示），每個自旋僅同它的兩個最近鄰自旋及外磁場相互作用。相互作用的總能量即由{s0，s₁，s₂，…，s_N_-1}所確定的位形能量是

，式中

是對最近鄰自旋對求和，

表示對所有自旋坐標求和。配分函數可寫作　

定義一個2×2矩陣p₁，它的矩陣元是

，

因為s0=±1，s₁=±1，故矩陣p₁可表示為

如果采用周期性邊界條件s_N＝s0，或設想將直線鏈彎成閉合的圓鏈，並將初端與尾端相接(圖3)，配分函數Z_I可表示成矩陣形式

，

式中tr表示矩陣的跡，它是

的對角元之和。由此計算可以求出 Z _I，對於 N 很大的鏈，則有

。磁化強度是

，

m(T，H)同μH的關系如圖 4所示。當H→0時，對於T＞0，有m(T，0)＝0。可見，一維伊辛模型沒有自發磁化即不顯示鐵磁性，因而不發生相變。

　　在一維伊辛模型中，不論鐵磁性或反鐵磁性，都不會實現有序的狀態。如對於ε＜0的鐵磁性物質，在絕對零度時，所有自旋取向都是相同的，此時，處於能量最低的狀態。然而，如果熱力學溫度不等於零，是有限的，則平均位形由兩種相反的、相互競爭的趨向所決定。一個是各個自旋的取向完全一致，使能量最低；另一個是各個自旋的取向為隨機的，使熵最大。由於一維伊辛模型中每個自旋沒有足夠多的最近鄰自旋，因而不可能出現所有自旋取向完全相同的情況，而是如圖5所示。