振動

　　物體經過它的平衡位置的往復運動，或某個物理量圍繞其平衡值的來回變動。振動是自然界中最普遍的現象之一。大至宇宙，如月盈、月虧引發的潮汐；小至原子內部，如電子圍繞原子核的旋轉。經常遇到的振動物體不勝枚舉，如鐘擺、琴弦、按摩器、振動篩、陣風中的吊橋、大浪裏的輪船等。不同物體的振動各具特點，但仍可對它們分類。按振動激勵特性，可分為線性振動和非線性振動；按產生原因，可分為自由振動、受迫振動和自激振動；按時間變化規律，可分為簡諧運動、非簡諧振動和隨機振動。

　　線性振動　質量不隨運動參量（坐標、速度、加速度等）的變化而變化，且其彈性恢復力和阻尼力可用線性式表示的系統的振動。它實際是具體的彈性體的小振幅振動的一個抽象模型。其最基本的特征是適用疊加原理，即如果在激勵x₁作用下，系統的響應為y₁，而在激勵x₂作用下響應為y₂，則在x₁和x₂的共同作用下系統的總響應為y₁+y₂。疊加原理給系統的線性振動的分析帶來極大方便，可把任意一個總激勵分解為一系列分激勵，在求得系統對各個分激勵的響應後，就可根據疊加原理求得總響應。如果總激勵是周期性的，則可應用傅裡葉分析求得線性系統在時域中的脈沖響應和在頻域中的頻率響應。

　　單自由度系統的線性振動　隻用一個坐標就可確定系統位置的線性振動。它是最簡單最基本的振動，通過對它的研究，可得到振動的許多基本概念和特征。一個質量塊，縛於一端固定的、其彈性恢復力與位移大小成正比的、方向相反的彈簧上，這樣構成的系統就是單自由度系統，稱為簡單振子。

　　自由振動　如簡單振子除質量塊的慣性力和彈簧的彈性恢復力外，再無其他外力作用其上，則簡單振子作自由振動。自由振動的一般規律可從質量塊的位移：

得到充分瞭解。 ξ _a為 ξ的最大值，稱為 位移振幅； ω ₀為振動的圓頻率， ， K _m為彈簧的彈性系數， M _m為質量塊的質量； φ0為振動的初相位。從位移的表示式可看出， ξ隨時間 t按餘弦（或正弦）規律運動，這種運動稱為 簡諧運動。圖1給出質量塊自由振動位移時間特性曲線。

　　簡單振子的自由振動最顯著的特性是圓頻率ω₀僅由K_m和M_m決定，而與振子是以多大的初始位移或多大的初始速度開始運動沒有關系，正因為這個原因，ω₀也稱為固有頻率。自由振動的這一特性是常見的，敲擊某個音叉或彈擊鋼琴的某個琴鍵時，不管敲擊或彈擊的輕重如何，它們發出的聲音的頻率總是一定的，輕重隻影響聲音的強弱。

圖1　自由振動位移時間特性曲線

　　阻尼振動　討論自由振動時，忽略瞭事實上總是存在的影響振子振動的阻尼力（簡稱阻力）。在線性振動的范疇，約定阻力F_R的大小與運動速度成線性關系，而其方向與運動方向相反：F_R=–R_m(dx/dt)。定義δ= R_m/（2M_m），稱為阻尼系數。按δ的大小，分三種情況考慮阻力的影響

　　①小阻尼(ω₀＞δ)時，質量塊的位移ξ為：

式中 A（ t）= ξ ₀ e ^–δt，近似表示阻尼振動的振幅，它按指數規律衰減， δ越大衰減越快； ω′0為阻尼固有頻率， 小阻尼時 。它小於自由振動固有頻率 ω ₀。圖2是質量塊阻尼自由振動的位移時間特性曲線。

　　②臨界阻尼(ω₀=δ)時，質量塊的位移將視初始條件而以不同的方式衰減，事實上質量塊的運動已不再是振動。

　　③大阻尼(ω₀＜δ)時，系統根本就不再算振動系統。

圖2　阻尼自由振動位移時間曲線

　　受迫振動　又稱強迫振動。設有一外力或強迫力F_acos（ωt）作用於一有阻尼的簡單振子的質量塊上，此時質量塊位移有兩項：第一項稱為瞬態振動，它描述簡單振子的自由振動，此項與系統的初始條件有關，隻是在振動的開始階段起作用。第二項稱為穩態振動，它描述振子在外力作用下所作的受迫振動，它比瞬態振動重要得多。穩態振動質量塊位移ξ為：

ξ= ξ _acos（ ωt– θ）

式中

為振子的力阻抗。頻率給定後， ξ _a就為常數，不隨時間變化，所以是一種等幅簡諧運動，振動圓頻率就是外力的圓頻率。歸一化位移 A（ ξ _a與靜態位移 F _a/ K _m之比）與頻率比 ω/ ω ₀的關系見圖3。圖中參數 Q _m= ω ₀ M _m/ R _m稱為品質因數。由圖可見，在以上 ，在 ω= ω ₀附近質量塊位移振幅將大大超過靜態位移。這一現象稱為 位移共振， Q _m愈大共振位移振幅也愈大。強烈的共振會造成機器失靈，甚至招致建築物毀壞，歷史上曾有美國華盛頓州塔科馬懸索橋，在陣風的猛烈襲擊下引起橋梁共振頃刻間倒塌的記載。共振必須盡量避免。但 超聲學和 水聲學常采用單頻聲波，此時應使工作頻率接近換能器振子的共振頻率，以提高其靈敏度和增強抗幹擾能力。

圖3　歸一化位移的頻率特性曲線

　　彈性體振動　任何機械系統都具有與質量有關的慣性，與勁度或張力有關的彈性，以及與運動速度有關的阻尼。慣性、彈性和阻尼是連續分佈的機械系統，稱為彈性體。彈性體具有無限多個自由度，具有無限多個固有頻率和與之對應的振動方式，稱為簡正振動方式。彈性體的任何振動都可表示為全部簡正振動方式的線性疊加。弦、梁、膜和板是形狀最簡單的4種彈性體。許多振動系統都可用以上四種中的一種或幾種近似。如胡琴可近似認為由弦、膜和琴身制作；輸電鐵塔可近似認為由粗細不同、長短不等的梁構成；懸索橋可近似認為由一些弦和板建造。

　　以弦和梁的自由振動為例，對彈性體振動作簡要介紹。弦是具有一定質量、一定長度、性質柔順、被張緊在兩個支柱上的細繩。弦的彈性恢復力是它的張力T，勁度可忽略。弦長為l，線密度為ρ，η為x處的弦離開平衡位置的垂直位移。弦的自由振動的第n階簡正振動方式為：

A _n和由初始條件確定； 如同簡單振子一樣， ω _n僅由弦的力學參量決定，稱為弦的固有頻率或 簡正頻率，各個簡正頻率彼此成諧和關系。波的傳播速度 也僅由弦本身的力學參量決定。圖4是按上式計算出來的1階、2階和3階簡正方式的振幅分佈。根據疊加原理，弦的總位移為：

圖4　弦的前3階簡正振動方式

　　梁與弦不同，梁有一定的橫向尺寸，但比長度小，而且梁的彈性恢復力由梁本身的勁度產生，張力可忽略。梁既可承載橫波，也可承載縱波。梁上縱波的特性與弦上的波相仿，縱波速度僅決定於梁的勁度和密度，各個簡正頻率是彼此諧和的。梁上橫波的傳播速度不僅與它的密度和勁度有關，還與作用力頻率的平方根成正比，各個固有頻率也不再成諧和關系。梁是橫波的頻散載體。梁的簡正振動方式的振幅分佈比弦上的波復雜得多。圖5是一端嵌定一端自由的梁的前5個簡正方式。

圖5　一端嵌定一端自由的梁的前5個簡正振動方式

　　近似解法　復雜彈性體的振動需求助於近似解法。近似解法的要點是變無限為有限。有限元法是近似解法之一，它將復雜結構簡化為有限個單元，並在有限個結點處對接而成組合結構。每個單元是一個彈性元件，單元的分佈位移用結點位移的插入函數表示，將各個單元的分佈參量按一定的格式集中到各個結點上，由此得到有限離散系統的力學模型。在求得各個單元的力學參量後，用矩陣法得到結構的總剛等矩陣，由此最後解得各階固有頻率和簡正振動方式，以及應力分佈等。模態分析法是另一種近似解法，它將一個復雜結構分解為若幹個較為簡單的子結構，這些子結構的振動是已知的或容易得到的，在求得子結構的振動後，根據對接面上的協調條件得到總體結構的振動。

　　振動對人的影響和評價標準　振動對人的影響有兩個方面：一是振動直接作用於人，使人感到不適，長期接觸振動能致病，如白手指；二是振動產生聲音，聲音再影響人的思考、娛樂、休息，甚至引起聽力損傷。人體對振動的反應與一個彈性體相當。人體全身垂直振動在4～8赫有一個大的共振峰，主要由胸部共振產生。4～8赫的外部振動對胸腔內臟影響最大。在10赫附近還有一個大的共振峰，由腹部共振產生。腹部內臟對10赫的外界振動反應最甚。此外，頭部共振頻率為2～30赫和500～1 000赫，手為30～40赫，竇腔、鼻、喉等為20～30赫和1 000～1 500赫，上下頷的共振頻率為6～8赫。

圖6　工作場所8小時內許可的振動累計暴露時間

　　人體剛能感覺到的振動稱為“感覺閾”，此時多數人能承受；振動的振幅增大，人就感覺不舒服，此時的振動強度稱為“不舒適閾”；“不舒適閾”的振動隻有心理影響，而無生理反應；振動繼續增強進到“疲勞閾”，生理反應產生，如註意力不能集中等。“疲勞閾”的振動停止後，生理反應即時消失；振動進一步增強，到達“危險閾”，此時不僅有心理和生理影響，還能致病。圖6是工作場所適用的振動評價標準。圖中的縱坐標為使人疲倦或降低工作效率的加速度的數值（g=9.8米/秒²），指單頻振動的加速度峰值，或倍頻帶有效值乘以

。暴露極限（相當於“危險閾”）為其兩倍；而“不舒適閾”為其1/3.16倍。橫坐標的頻率指單頻振動的頻率，或倍頻帶的中心頻率；縱坐標的加速度，各條曲線上標註的時間指8小時內的許可累計暴露時間。圖6適用於上下的垂直振動。人體對水平振動要敏感些。