目標規劃模型

　　企業用來實現目標管理的一種線性規劃模型。目標規劃是解決企業多目標管理的有效方法，它是按照決策者事前確定的若幹目標值及其實現的優先次序，在給定的有限資源下尋找偏離目標值最小的解的數學方法。美國學者A.查納斯和W.W.庫珀在把線性規劃應用於企業時，認識到企業經營具有多目標的特點，因而在1961年首先提出瞭目標規劃的概念和數學模型。目標規劃的基本概念是，當規定的目標與求得的實際目標值之間的差值為未知時，可用偏差量 d來表示示。d^＋表示實際目標值超過規定目標值的數量，稱為正偏差量，d^-表示實際目標值未達到規定目標值的數量，稱為負偏差量。如果企業決策者將利潤量、材料消耗量、能源消耗量等可控指標作為目標時，則可根據各項指標的完成對企業經營活動作出貢獻的重要程度，分別給這些目標以不同的優先級別p_k，k＝1，2，…，K。如果規定利潤最重要，則確定為p₁；材料消耗量次之,則確定為p₂等等。p₁優先於p₂，p₂優先於p₃等等。在同一優先級別中也可以同時有幾個目標。在進行目標規劃時凡是給予優先級別p₁的目標，應首先實現，在此基礎上再相繼實現p₂ 、p₃等級別的相應目標。最後使未能達到目標值的偏差量總和為最小。

　　目標規劃模型的一般形式為：

式中Z為目標函數，min表示要求目標函數為最小；W

、 W 分別表示第 k個優先級別中對第 i個目標正、負偏差量 d _i ⁺、 d _i ^-的加權系數,即表示不同偏差量的相對重要程度， W ＝0或 W ＝0分別表示不考慮 d _i ⁺或 d _i ^-； s.t.表示在下述的約束下； g_i表示第 i個規定目標值， c _j ⁱ為系數， x_j為決策變量, n為決策變量數， m 為目標個數； a_lj為技術系數， b_l為第 l種有限資源量， L為有限資源個數。

　　例如，某工業企業欲在計劃期內生產A、B兩種產品，其單位產品所需設備臺時、材料及利潤匯總如下表：

某工業企業產品所需設備臺時、材料及利潤匯總表

若工廠決策者隻要求獲取最大利潤這一目標，則可用 線性規劃求解，求得最優解 x＝(4，0，4，0)，即 A產品生產4個單位， B產品不生產，設備臺時剩餘4個單位,材料正好用完，所獲最大利潤為4×4＝16萬元。但決策者認為還應顧及滿足社會需求的目標，並依次確定三個優先次序 p ₁、 p ₂和 p ₃。① p ₁:在計劃期間內工廠獲利至少在12萬元以上，求解 min p ₁( d ₁ ^-),即要求達不到利潤目標值的負偏差量最小。② p ₂：要求 A產品的數量為 B產品的1.5倍，求解 min p ₂( d ₂ ⁺＋ d ₂ ^-)，即要求 B產品超過量和不足量偏差值均為最小。③ p ₃：要求設備臺時空閑時間最少，求解 min p ₃( d ₃ ^-),即要求設備空閑偏差量最小。根據目標規劃的一般形式可列出這個問題的方程：

min Z＝P₁(d₁^-)＋p₂(d₂⁺＋d₂^-)＋p₃(d₃^-)

s.t　 4x₁＋3.2x₂－d₁⁺＋d₁^-＝12

x₁＋1.5x₂－d₂⁺＋d₂^-＝0

2x₁＋4x₂－d₃⁺＋d₃^-＝12

3x₁＋3x₂－d₄⁺＋d₄^-＝12

x₁，x₂≥0；　d_i⁺，d_i^-≥0　（i＝1～4）

式中中d₄⁺，d₄^-分別為材料的超額量和剩餘量。問題的解在圖中示出。可以確定:X ^*＝(2.4,1.6),d₁^-＝0,d₁⁺＝2.72，d₂⁺＝d₂^-＝0，d₃⁺＝0，d₃^-＝0.8，即A產品生產2.4單元，B產品生產1.6單元，利潤目標超額 2.72萬元，A產品為B產品的1.5倍，設備臺時剩餘0.8單位,即Z＝0＋0＋0.8＝0.8為最小。

　　在一般情況下，可在目標規劃求解之前，先用線性規劃求出主要目標的最優解，作為最優平衡的大致界限，再用目標規劃進行調整，可用單純形法通過電子計算機求解模型，根據求解結果分析目標值和實際值產生差距的原因，並提出相應的措施，最終求得滿意解為止。

　　

參考書目

　M.Zeleny, Multiple Criteria Decision Making, McGrawHill, New York,1982.