為簡化計算而建立的實變數函數和複變數函數間的一種函數變換。對一個實變數函數作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對於求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函數數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供瞭可能性。
用 f(t)表示實變量t的一個函數，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復變量s＝σ＋jω的一個函數，其中σ和ω 均為實變數,j2＝-1。F(s)和f(t)間的關系由下面定義的積分所確定：
。
如果對於實部σ ＞σc的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時積分不存在，便稱 σc為f(t)的收斂系數。對給定的實變量函數 f(t)，隻有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習慣上,常稱F(s)為f(t)的象函數,記為F(s)＝L[f(t)]；稱f(t)為F(s)的原函數,記為ft＝L-1[F(s)]。
函數變換對和運算變換性質 利用定義積分，很容易建立起原函數 f(t)和象函數 F(s)間的變換對，以及f(t)在實數域內的運算與F(s)在復數域內的運算間的對應關系。表1和表2分別列出瞭最常用的一些函數變換對和運算變換性質。
表1 常用函數的拉普拉斯變換對
表1 常用函數的拉普拉斯變換對（續表）
表2 拉普拉斯變換的運算性質
拉普拉斯反變換 拉普拉斯變換具有可逆性。由復數表達式F(s)來定出實數表達式f(t)的運算稱為反變換。拉普拉斯反變換的定義積分式是
。
直接計算這個積分是困難的。但是對於大多數工程問題，F(s)往往是s的一個嚴格真有理分式
可采用簡單步驟來完成反變換運算。對應於F(s)的分母多項式為零的根是兩兩不相等的情況，在定出它們的值λ1、λ2、…、λn以後,由部分分式展開並結合查表1,可定出反變換函數為
式中
。如果
F(
s)的分母多項式為零的根中包含有重根，那麼反變換的結果和計算過程都要復雜一些。
應用 從數學的觀點來說，拉普拉斯變換主要為求解線性微分方程提供瞭一種簡便的運算方法。在給定微分方程後，運用表1的變換關系和表2的運算性質，就可把問題化成為求解象函數的代數方程，它的解經反變換後的結果就是微分方程的解。
參考書目
鐘士模、鄭大鐘著：《過渡過程分析》，清華大學出版社，北京，1986。