回歸法

　　通過研究兩個或兩個以上因素之間的統計相關關係對未來進行預測的方法。是預測技術的一種方法。回歸一詞最早見於生物學。通過對遺傳現象的大量觀察統計，人們發現子女身高與父母身高之間有一定關係。平均來看，若父母很高，他們的子女並不會像父母那樣高，而父母很矮，他們的子女也不像父母那樣矮。這種遺傳身高趨於一般的現象，稱為回歸。後來回歸一詞被用來描述多個隨機變數之間在統計平均意義上趨向於某種較為確定的相互依賴關係，即統計相關關係。通過回歸分析找到多個變數之間的統計相關關係系，就能建立回歸方程式。例如，ŷ＝f(x₁,x₂),式中y為因變量,ŷ為對y的估計值；x₁和x₂為自變量。在對自變量x₁和x₂控制或預測的基礎上,就能對因變量y作出預測。回歸法在經濟領域中的典型應用是計量經濟模型（見計量經濟學）。

　　特點　用回歸法進行預測首先要對各個自變量作出預測。若各個自變量可以由人工控制或易於預測，而且回歸方程也較為符合實際，則應用回歸法預測是有效的，否則就很難應用。為使回歸方程較能符合實際，首先應盡可能定性判斷自變量的可能種類和個數，並在觀察事物發展規律的基礎上定性判斷回歸方程的可能類型。其次，力求掌握較充分的高質量統計數據，再運用一套統計和檢驗程序，利用數學工具從定量方面計算或改進前兩種定性判斷。

　　分類　回歸法按照所采用主方程分類。回歸方程可以是代數函數、超越函數或它們的混合形式。回歸方程為線性的稱為線性回歸，否則稱為非線性回歸。自變量隻有一個的稱為單元回歸，多於一個的稱為多元回歸。

　　①　單元線性回歸 隻有一個自變量的線性回歸,用於兩個因素（如y和x）接近線性關系的場合。相應的回歸方程式為

，式中 ,而 ӯ和 ?是分別根據 y和 x的一組已知觀測值（ y_i，x_i）（ i=1，…, n）用最小二乘法求出的最小二乘估計值； 傫 = l_xy／ l_xx,表示估計值 ŷ _t相對於觀察值 x _t的變化率，稱為回歸系數。 ,稱為 x和 y的相關系數，它越接近1, x和 y的線性相關程度就越大。 ，稱為剩餘標準差，它越小，采樣點就越接近回歸方程式。 ，稱為 x的自方差； ，稱為 y的自方差； ,稱為 x、 y的協方差。在簡單情況下，回歸法就是消耗系數法或生產系數法。例如, 傫可以表示生產每噸鋼消耗多少度電，一噸化肥能增產多少噸糧食等。這種系數在投入產出表（見 投入產出法）中是經常使用的。

　　②　多元線性回歸　用於一個因變量 y同多個自變量x₁,x₂,…, x_m 線性相關的問題。相應的回歸方程式為

。回歸系數 傫_k( k＝0,1,…, m)可由觀測值按最小二乘法確定。

　　③　非線性回歸　分為兩類：一類可通過數學變換變成線性回歸，如取對數可使乘法變成加法等；另一類可直接進行非線性回歸，如多項式回歸。

　　④　單元多項式回歸　因變量同自變量成多項式函數關系的回歸法，相應的回歸方程為

,式中 â_k( k＝0,1,…, m)可由觀察值按最小二乘法確定。

　　

參考書目

　N.T.Thomopoulos著,劉湧康等譯：《實用預測方法》，上海科技文獻出版社，上海，1980。(N.T. Thomopoulos, Applied Forecasting Methods， Prentice－Hall, Englewood Cliffs, 1980.)