虛功原理

　　分析靜力學的重要原理，又稱虛位移原理，是J.-L.拉格朗日於1764年建立的。其內容為：一個原為靜止的質點系，如果約束是理想雙面定常約束，則系統繼續保持靜止的條件是所有作用於該系統的主動力對作用點的虛位移所作的功的和為零。它的數學運算式為：

<

　　　　　　　　(1)

式中 F _i為第 i個質點上的主動力； δr _i為其虛位移。

　　欲使每一個質點保持平衡，應有約束力N_i和主動力F_i成為平衡力系，即F_i＋N_i＝0。故對每一個質點都有F_i+N_i)·δr_i=0，它們的總和為：

　　　　　　　　(2)又因約束是理想約束，故有：

　　　　　　　　　(3)將式(3)代入式(2)，即得式(1)。

　　將主動力F₁作用於單自由度機構，必定產生一從動力F₂，虛功原理即可簡化為：

F₁δx₁-F₂δx₂=0

或

　　　　　　　F₁/F₂=δx₂/δx₁。

這種作用力與位移的反比關系在機械中得到廣泛應用。這就是古人早已從杠桿、滑輪、斜面等簡單機械中得出的規律──“力學金律”。事實上，這種規律正是虛功原理的雛形。虛功原理的一般性表述是約翰第一·伯努利（見 伯努利傢族）於1717年作出的。

　　利用虛功原理求解靜力學問題，可以避免畫受力圖、列平衡方程等分別隔離的一套方法，而代之以求系統的各虛位移之間的幾何關系。如圖示的壓縮機構，OC桿可繞O轉動，OC桿上的滑塊A帶動AB桿在鉛垂導槽C中滑動。在B上加一主動力P，在C產生垂直於OC的從動力Q。C點的虛位移為δc，B點的虛位移為δb。根據虛功原理便有Q·δc+P·δb＝0。因δc＝aδφ，δb＝δ（AC）＝δ（ltgφ）＝lsec²φδφ，所以有Qaδφ＝Plsec²φδφ，即

　　　　　　　Q＝Pl/acos²φ。

　　虛功原理也可應用於非理想約束的情況，此時把摩擦力也看作主動力而列入式(1)中。