影響線

　　一單位力在結構上移動時，隨著其位置的改變，結構中的某一量值（如支座反力、桿件截面內力或結點位移等）的值也將相應地產生變化。若以一直角坐標系的橫坐標x表示單位力的作用位置，縱坐標x表示某量值，則表示x和x這兩個變數之間的關係和方程式稱為影響線方程，而它所表示的軌跡（一段或若幹段直線或曲線），稱為結構中中某量值的影響線。

　　靜定結構的影響線　有靜力法和機動法兩種畫法。

　　靜力法　先依靜力平衡條件列出結構中某一量值的影響線方程，然後據此畫出該量值的影響線。如簡支梁AB在一直角坐標系xx中的位置和其上承載的單位力P＝1的作用點的橫坐標x（圖1a），依靜力平衡條件ΣM_B＝0，得A點支座反力為R_A＝l-(x-a)/l，即反力R_A的影響線方程。據此畫出R_A的影響線（圖1b）。

　　機動法　首先將與某量值相應的聯系去掉，然後使沿該量值正方向發生單位位移，從而得到所謂的可能位移圖便是某量值的影響線。如求圖2a所示簡支梁中C點截面內的彎矩M_C和剪力Q_C的影響線。首先，把與M_C和Q_C相應的聯系去掉（如圖2b和d），其次使去掉聯系後的體系沿M_C和Q_C的正方向發生單位位移φ，由此得到體系的可能位移圖（圖2c）和e便是M_C和Q_C的影響線上。上述方法的基礎是虛功原理(見能量原理)。如觀察圖2a、b及其可能位移圖2c，由虛功方程可得

，因 φ與 P均為單位值，故 M_C＝ x。

　　由上述簡支梁的彎矩和剪力影響線的例子可概述其繪制規律如下：相應於某一量值的結構的可能位移圖即為該量值的影響線的形狀，如取與該量值相應的位移為一單位值，則該可能位移圖豎標即為該影響線的豎標。這個結論被稱為米勒-佈雷斯勞原理，它對靜定和超靜定結構都適用。

　　超靜定結構的影響線　繪制超靜定結構（見桿系結構的靜力分析）的影響線時常應用上述原理，如圖3a所示的連續梁，其A截面上彎矩M_A和剪力Q_A的影響線均可依上述方法由可能位移圖求得（圖3b）及с。不過超靜定結構的支座反力和桿件截面內力的影響線通常是曲線，常需依超靜定結構的分析法算出曲線上若幹點的影響線豎標才能繪出曲線圖形，計算得的豎標越多，繪出的圖形就越精確。

　　位移影響線　求畫結構上某點位移的影響線時，可根據位移互等定理在該點沿所求位移的方向加一個單位力，此時該力所產生的結構位移圖便是求畫的影響線。

　　影響線的應用　畫出某量值影響線的目的在於要利用它確定一組移動荷載加在結構上對某量值的最不利位置（使某量值產生最大值的荷載位置）。設某量值的影響線由1，2，3，…，n等n段直線組成，各段直線的傾角為α₁、α₂，α₃，…，α_n，自x坐標軸起以逆時針方向為正(圖4a)。若有一組荷載在結構上移動，考慮某一時刻，其中荷載P位於影響線的某一個頂點K，每一段影響線直線內各荷載的合力為R_i(i＝1，2，3，…，n)（圖4b）。各段內荷載的合力R_i乘各該段影響線的直線傾角α_i的正切之和為

。當全組荷載分別向左和向右作微小的移動時，各段內合力乘各段直線傾角的正切之和應分別為 和 。如果這兩個總和值發生變號，則 P置於頂點時的全組荷載位置就可能是所要求的最不利的荷載位置。如果兩個總和值不發生變號，則須另選其他荷載置於其他頂點重新計算。所謂頂點並不一定是影響線的最高點，可能是其他兩段直線相交的頂點。究竟是哪一個荷載置於哪一個頂點才能使算得的量值最大，一般須經試算比較才能確定。

　　當影響線豎標為負值時，則最不利荷載位置乃是使量值產生最小值的荷載位置。

　　影響線的另一個作用是求量值的值。設某量值的影響線已畫出（圖4a），加在結構上的荷載為一組集中荷載R_i(i＝1，2，…，n)及一段均佈荷載q（圖4b），在該組荷載的作用下所產生的某量值之值為

式中 x ₁， x ₂，…， x_n是與各集中荷載所對應的影響線豎標， ω是在均佈荷載長度范圍內由影響線與坐標軸圍成的圖的面積。

　　

參考書目

　李廉錕主編：《結構力學》（第二版），高等教育出版社，北京，1984。