板的計算

　　一般指在邊緣或其中間被支承的薄板在受到橫向或縱向的靜力或動力荷載作用下的應力、變形、穩定性或動力回應等的計算。板可作為一個構築物，也可作為某一結構的部件。

　　所謂薄板，一般指板的厚度h不超過板的中面最小尺寸a

的1/5，或板板的最大撓度 w 不超過板厚的1/5的情況。如果板的厚度很小而1/ 5 w / h＜5，則稱為大撓度板或柔韌板。計算這種板時，須考慮到板的中面內的應力及中面的變形。對於 h/ a ＞1/5的板一般作為厚板看待；厚板的計算須應用彈性理論三維問題方法，較為復雜。薄板的計算理論廣泛地用於各個工程技術領域，如 房屋工程中的樓板、大型屋面板、無梁樓蓋、折板、彈性地基板（見 地基上梁和板）， 道路工程中的剛性路面， 橋梁工程中的板橋及橋面板， 飛機場工程中的剛性跑道， 水利工程中的閘門板等。

　　內力分析　板在橫向力作用下彎曲時，其工作狀態與梁不同。四邊簡支等厚度矩形板在集度為q的滿佈均佈荷載作用下，若板的長寬比數b/a＝2.0，且材料的泊松比μ＝0.3，則發生在板中心處與x軸垂直截面上最大的單位長度彎矩M

＝0. 1017 qa ²，它小於g＝ b/2 處沿 x方向取出的單位寬板條作為獨立梁計算時橫截面的最大彎矩0. 125 qa ²；發生於板中心處的最大撓度　 δ＝0. 1106 qa ⁴/ Eh ³亦小於上述情況下的最大撓度0. 1560 qa ⁴/ Eh ³ E為彈性模量)。由於板的撓曲面為一空間曲面（圖1），其傾角∂ w/∂ x和∂ w/∂ y也分別沿g和 x方向變化，從而導致平行於g軸的線段 MM ₁，和平行於 x軸的線段 MM ₂分別發生扭轉，因此板的 x截面上的內力，除剪力 Q _x、彎矩 M _x外，尚有扭矩 M _xy（圖2），y截面上亦有扭矩 M _yx。

　　彈性薄板計算理論一般采用基爾霍夫假設：薄板在發生彎曲變形之後，原垂直於中面的法線仍垂直於中面且長度不變；垂直於中面的應力分量很小，可以略去；薄板中面沒有伸縮及平行於中面的剪切變形。

　　基本方程　根據基爾霍夫假設可以推導出薄板在荷載作用下，板中任意點沿坐標軸x、y、z方向的位移為

(1)

　　　薄板中任意點處 x截面和y截面上單位長度范圍內的內力都是撓度 w( x， y)的函數。薄板中應力 σ及剪應力 τ的計算式為

(2)

　式中 J為板的單位寬度的截面的慣性矩， J＝ h ³/12。

　　根據薄板中任意一個邊長為dx、dg厚度為h的單元的靜力平衡條件，可以推導出薄板彎曲的控制微分方程式為

D▽²▽²w(x，y)=q(x，y)　(3)

式中D為板的抗彎剛度；

； q( x， y)為作用於板上的橫向分佈外力的集度。

　　薄板的常用邊界條件，以x＝常數邊為例，有

簡支邊　w＝0，　M_x＝0；

固定邊　w＝0，　

；

自由邊　M_x＝0，　R_x＝0。

　　薄板的所有上列基本方程可通過坐標變換後用柱坐標表示，這對計算圓板較為方便。

　　解算方法　求解薄板的控制微分方程式(3)的方法很多，可分為解析法、近似法及數值法等。

　　解析法　一般系將位移函數w(x，y)及荷載函數q(x，y)展成的傅裡葉級數代入(3)式求解，若矩形板是四邊簡支的，則可將w及q展開成為雙重傅裡葉級數。

　　如果矩形板在x＝0及x＝a的兩個對邊處簡支，則可先將ш展成單傅裡葉級數。

　　近似法　一般指能量法，常常應用裡茲法或伽遼金法進行計算。

　　① 裡茲法。薄板的總勢能是板的彎曲變形勢能與外力勢能之和

　　　　(4)

式中 S _m表示板中面面積范圍。假設一個撓度函數

　　　　　　　　(5)

式中系數C_i待求，f_i(x，y)至少須滿足薄板幾何邊界條件，以(5)代入(4)式，應用∂П/∂С_i(i＝1，2，…，n)的條件便可求出П為最小時的系數С_i，此時撓度函數w最接近薄板真實的撓曲面形狀。

　　② 伽遼金法。根據最小勢能原理，如果薄板的撓度函數假設為

　　　　　　　　(6)

滿足板的所有邊界條件則有

　　　　　　(7)

求出變分 代入(7)式可得

　　　　(8)

於是便有 n個條件足以求出С _i( i＝1，2，…， n)，亦即求得 w( x， y)。

　　數值解法　形狀及荷載復雜的薄板宜用數值解法，如差分法及有限元法等。

　　① 差分法。先在板上劃分差分網格（圖3），在直角坐標系中差分網格線就是平行x軸及g軸的坐標線，縱線相距Δx，橫線相距Δg，縱橫網格線的交點稱為網格點，在板內部的網格點稱內點，邊界的網格點稱邊界點，邊界之外的網格點稱外點。外點是由於計算的需要而設立的。內點的控制微分方程、邊界點的邊界條件和內力都用差分方程表示。

　　有限差分法中所用的網格可以是矩形，也可以是平行四邊形(斜坐標)、扇形(極坐標)或三角形的（三角坐標）。有限差分法引起的誤差是截斷性質的誤差。差分方程中差分階數愈高，誤差愈大。一般差分不能超過四階。

　　② 有限元法。解算薄板彎曲問題的有限元法有位移法、混合法等。其基本原理見有限元法。

　　於有限元位移法中，將板離散成為在角點處設置節點的三角形單元分析法已被否定，因為它導致一定方向單元的奇異性。將板離散成為矩形單元在四角處設置節點的辦法雖有缺點尚屬可用，但不適用於非矩形板。有限元位移分析薄板的單元形式發展較多，關鍵在於單元位移模式的完備性、收斂性、雙跨單元的變形協調性，SAPV程序中的單元符合上述性質，但計算工作量較多。

　　有限元混合法將板離散成為三角形單元，於三個角點處設置位移節點，並於每邊的中點處設置邊彎矩節點；這一方法的計算效果較好。

　　板的計算理論現正向著不采用基爾霍夫假設而考慮橫向剪切影響的方向發展，並向著熱彈、熱塑、粘彈、粘塑、各向異性、大變形、動力及穩定性各方面發展。