研究數學中具有普遍性和本質性問題的理論。這些問題大體可以分為兩類：一類是數學中的邏輯問題，如公理系統的協調性、形式體系化、元數學等；另一類是與純數學中的理論問題有關的哲學問題，如數學命題和原理的真理性、數學無窮的可接受性、數學物件的本體論解釋等。對這些問題的研究和解釋與邏輯和哲學有密切關係。
三次危機 在數學發展史中，數學基礎曾出現過三次危機。第一次危機是在古希臘時期由畢達哥哥拉學派（見畢達哥拉和畢達哥拉學派）在研究直角三角形邊長的解時引起的。這個學派發現，兩條直角邊相等的直角三角形，其斜邊與任一直角邊無公度，即任選一線段作為單位後，兩者不能均為有理數。這一發現不僅沖擊瞭當時畢達哥拉學派關於“數是萬物的本原”的觀念，而且也沖擊瞭當時認為有理數可以表示一切量的觀念，並給早期的數論、幾何等問題的研究帶來瞭一些困難，但同時也促進瞭幾何學的發展。第二次危機是在17世紀隨著微積分的發明而產生的。微積分的核心是“無窮小的分析”，但微積分的創建者對無窮小這一概念並未給出嚴格定義，隻是作瞭一些不能自圓其說的解釋，因而始終無法擺脫無窮小是零還是非零的邏輯困境，由此也遭到一些數學傢的非難。微積分經過100多年的發展和關於基礎問題的爭論，終於在19世紀初形成瞭對數學分析的批判運動。數學傢們在這個批判運動中對變量的極限概念給予數學形式的定義，並通過極限概念定義無窮小量，從而使微積分有瞭一個初步能為大多數數學傢接受的邏輯基礎。從19世紀下半葉起，在數學基礎研究中力圖使微積分基礎更嚴格的工作沿著分析算術化的方向發展。同時，由於德國數學傢G.F.P.康托爾對函數展開為三角級數的唯一性問題的研究，從而建立瞭集合論。集合論是人類認識史上第一個關於無窮的數學理論，它使無窮概念發生瞭一次革命性的變革，並對邏輯和哲學產生瞭深遠的影響。集合論通過集合、基數、序數、序型等概念揭示出數概念的本質屬性，因而到19世紀末，數學傢就認為它可以作為數學嚴格化的基礎，並用集合的概念給數下定義，從而減少數學中不定義的概念。所以，數學傢們認為分析不僅可以算術化，而且已經找到一個完全嚴格的基礎──集合論。可是，集合論建立不久，數學傢、邏輯學傢就發現其中的一些悖論。例如，希拉裡-弗蒂悖論、康托爾悖論、羅素悖論。前兩個悖論涉及到集合論中比較專門的概念。康托爾認為，隻要把集合論中的某些概念作適當的修改和限制，就可以避免悖論。但羅素悖論卻觸及到整個集合論中最基本的概念──集合、類與分子的從屬關系，從而使數學基礎發生瞭第三次危機。
為瞭擺脫危機，使集合論成為可靠的數學基礎，德國數學傢E.策爾梅洛(1871～1953)把康托爾的集合論加以公理化，並在1908年給出第一個公理化的集合論系統。這個系統後來經A.A.弗蘭克爾(1891～1965)、T.司寇倫(1887～1963)的改進，成為一個標準的公理化集合論系統，簡稱ZF系統。在這個系統中，羅素悖論雖然消除瞭，但圍繞著集合論中的一些問題，數學傢們仍在繼續爭論。例如，公理集合論的相容性尚未得到證明，人們對它並不放心；選擇公理是建立分析學、拓撲學以及抽象代數所需要的，但有人反對使用它，因為在無窮集合中無法進行無窮多次的選擇；有的數學傢還反對把排中律應用到無窮集合中。
主要派別 針對數學基礎的第三次危機，數學傢們各自從不同的哲學觀點出發，解釋危機的實質，並提出解決問題的方案，由此形成直覺主義、形式主義和邏輯主義三個主要派別，從中反映瞭各自的數學哲學觀。以L.E.J.佈勞維爾為代表的直覺主義拒絕接受非構造性的存在證明，反對排中律在無窮推理中的應用，認為數學是心智的構造。後來，A.海廷進而給出一個直覺主義的邏輯體系。直覺主義要求數學對象是可構造的，認為把數學限制在能行的思維范圍內，不利於數學的發展。它強調數學對象的可構造性，促進瞭構造性數學的發展。D.希爾伯特為瞭避免悖論，保衛古典數學，提出瞭一個解決數學基礎問題的方案，即首先把數學理論變成形式系統，然後用有窮方法證明形式系統的無矛盾性。有的數學哲學傢把這一方案看作是形式主義的。希爾伯特從這一方案出發，建立瞭元數學，發展瞭有窮主義的證明論。1931年K.哥德爾的不完全性定理的發表沉重打擊瞭希爾伯特方案，迫使形式主義擴充有窮方法，把超窮歸納法也作為證明論的工具。以B.A.W.羅素、A.N.懷特海為代表的邏輯主義，則試圖把數學歸結為邏輯，並通過類型論消除悖論。但是，不完全性定理也說明邏輯主義的計劃是行不通的。事實上，邏輯主義也沒有真正從一個純粹的邏輯公理系統推出全部數學。
由於上述三個主要學派改造數學的方案都沒有實現，所以柏拉圖主義（見柏拉圖）在數學基礎研究中又活躍瞭起來。持這種觀點的數學傢往往自稱是新柏拉圖主義。他們企圖對數學命題和原理的客觀性作出全面的解釋。雖然他們承認數學對象獨立於思考它們的人腦之外，是客觀實在的一個方面，但又認為這種存在不同於外部世界物質性的存在。在柏拉圖主義者中，除瞭數學實在論觀點外，還有的人持概念實在論觀點。
20世紀60年代，在數學基礎的研究中又出現瞭經驗主義。經驗主義者認為，大半個世紀的數學基礎研究表明，企圖沿著形式化道路，借助證明論的方法，在形式系統內部解決數學的真理性問題是不可能的，數學基礎的問題應該回到經驗中去解決。
參考書目
P.Banacerraf and H.Putnam，ed.，Philosophy of Mathematics，Prenthce，Inc.，New Jersey，1964.
J.van Heijenoort ed.，From Frege to Godel:a so-urce book in mathematical Logic1879～1931，Harvard University Cambridge Massachusetts，1967.
A.A.Fraenkel，Y.Ban-Hillel and A.Levy，Foundations of Set Theory，North-Holland，Amsterdam，1973.